弱収束列
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/13 01:23 UTC 版)
詳細は「弱収束 (ヒルベルト空間)（英語版）」を参照 ヒルベルト空間 H において、点列 {xn} がベクトル x ∈ H に弱収束するとは、任意の v ∈ H に対し lim n ⟨ x n , v ⟩ = ⟨ x , v ⟩ {\displaystyle \lim _{n}\langle x_{n},v\rangle =\langle x,v\rangle } をみたすことをいう。 例えば、任意の正規直交列 {ƒn} は 0 に弱収束することが、ベッセルの不等式から従う。任意の弱収束列 {xn} は一様有界性原理（英語版）により有界である。 逆に、ヒルベルト空間における任意の有界列は弱収束する部分列を含む（アラオグルの定理） 。この結果は、Rd 上の連続関数に対してボルツァーノ・ヴァイエルシュトラスの定理を用いるのと同じやり方で、連続凸関数に対する最小値定理の証明に用いられる。これにはいくらか異なった述べ方があるが、以下のような形が簡便であろう ƒ: H → R が凸関数で、‖x‖ → ∞ のとき ƒ(x) → +∞ を満たすとき、ƒ は H の適当な点 x0 ∈ H で最小値を持つ。 この事実（とその種々の一般化）は変分法における直接法の基礎を成している。有界閉凸関数に対する最小値の存在は、もう少し抽象的な、ヒルベルト空間 H 内の有界閉凸部分集合が H の回帰性により弱コンパクトになるという事実からも直接的に得られる。弱収束部分列の存在性は、エーベルライン・スムリアンの定理（英語版）の特別の場合である。
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