解析学 におけるバナッハ極限 （英 : Banach limit ）とは有界な実数列の成すバナッハ空間
ℓ
∞
{\displaystyle \ell ^{\infty }}
汎関数
L
I
M
:
ℓ
∞
→
R
{\displaystyle \mathrm {LIM} :\ell ^{\infty }\to \mathbb {R} }
x
=
(
x
n
)
{\displaystyle x=(x_{n})}
y
=
(
y
n
)
{\displaystyle y=(y_{n})}
L
I
M
(
α
x
+
β
y
)
=
α
L
I
M
(
x
)
+
β
L
I
M
(
y
)
{\displaystyle \mathrm {LIM} (\alpha x+\beta y)=\alpha \mathrm {LIM} (x)+\beta \mathrm {LIM} (y)}
すべての
x
n
≥
0
{\displaystyle x_{n}\geq 0}
L
I
M
(
x
)
≥
0
{\displaystyle \mathrm {LIM} (x)\geq 0}
L
I
M
(
x
)
=
L
I
M
(
S
x
)
{\displaystyle \mathrm {LIM} (x)=\mathrm {LIM} (Sx)}
S
{\displaystyle S}
(
S
x
)
n
=
x
n
+
1
{\displaystyle (Sx)_{n}=x_{n+1}}
シフト作用素 である；
lim inf
n
→
∞
x
n
≤
L
I
M
(
x
)
≤
lim sup
n
→
∞
x
n
{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \mathrm {LIM} (x)\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}}
最後の条件より
L
I
M
{\displaystyle \mathrm {LIM} }
lim
n
→
∞
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }}
言い換えれば、バナッハ極限は通常の極限の線形性を保った拡張であって、シフト不変かつ正なものである。しかしながら２つのバナッハ極限が一致しない数列が存在する。バナッハ極限はこの場合には一意に決まらないということができる。
バナッハ極限の存在は通常ハーン＝バナッハの定理 （解析学的な方法）または超フィルター （この方法は集合論的な説明でより頻繁に見られる）を用いる。これらの証明は選択公理 の使用が必要である（つまり実効的な証明ではない）。
超準的な存在証明 無限大超自然数
ν
{\displaystyle \nu }
L
I
M
{\displaystyle \mathrm {LIM} }
L
I
M
(
x
)
=
s
t
(
1
ν
∑
i
=
ν
2
ν
−
1
∗
x
i
)
{\displaystyle \mathrm {LIM} (x)=\mathrm {st} ({\frac {1}{\nu }}\sum _{i=\nu }^{2\nu -1}{}^{\ast }x_{i})}
ただし
s
t
{\displaystyle \mathrm {st} }
∑
{\displaystyle \sum }
∗
x
=
(
∗
x
i
)
{\displaystyle {}^{\ast }x=({}^{\ast }x_{i})}
x
=
(
x
i
)
{\displaystyle x=(x_{i})}
標準部分が存在することを示す。すなわち
s
t
(
⋯
)
{\displaystyle \mathrm {st} (\cdots )}
x
{\displaystyle x}
M
{\displaystyle M}
|
x
i
|
≤
M
{\displaystyle |x_{i}|\leq M}
移行原理（英語版 ） より
|
∗
x
i
|
≤
M
{\displaystyle |{}^{\ast }x_{i}|\leq M}
|
1
ν
∑
i
=
ν
2
ν
−
1
∗
x
i
|
≤
1
ν
ν
M
=
M
{\displaystyle |{\frac {1}{\nu }}\sum _{i=\nu }^{2\nu -1}{}^{\ast }x_{i}|\leq {\frac {1}{\nu }}\nu M=M}
L
I
M
{\displaystyle \mathrm {LIM} }
1
ν
∑
i
=
ν
2
ν
−
1
∗
x
i
+
1
=
∗
x
2
ν
ν
+
1
ν
∑
i
=
ν
2
ν
−
1
∗
x
i
−
∗
x
ν
ν
{\displaystyle {\frac {1}{\nu }}\sum _{i=\nu }^{2\nu -1}{}^{\ast }x_{i+1}={\frac {{}^{\ast }x_{2\nu }}{\nu }}+{\frac {1}{\nu }}\sum _{i=\nu }^{2\nu -1}{}^{\ast }x_{i}-{\frac {{}^{\ast }x_{\nu }}{\nu }}}
であり、第一項と第三項は無限に小さいので
s
t
{\displaystyle \mathrm {st} }
i
{\displaystyle i}
lim inf
x
n
≤
s
t
(
∗
x
i
)
≤
lim sup
x
n
{\displaystyle \liminf x_{n}\leq \mathrm {st} ({}^{\ast }x_{i})\leq \limsup x_{n}}
となることから分かる。
概収束 収束しない数列であってバナッハ極限が一意的に決まるものが存在する。例えば
x
=
(
1
,
0
,
1
,
0
,
…
)
{\displaystyle x=(1,0,1,0,\ldots )}
x
+
S
(
x
)
=
(
1
,
1
,
1
,
…
)
{\displaystyle x+S(x)=(1,1,1,\ldots )}
2
ϕ
(
x
)
=
ϕ
(
x
)
+
ϕ
(
S
x
)
=
1
{\displaystyle 2\phi (x)=\phi (x)+\phi (Sx)=1}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
数列
x
{\displaystyle x}
ϕ
{\displaystyle \phi }
ϕ
(
x
)
{\displaystyle \phi (x)}
概収束（英語版 ） するという。
ba空間
⟨
ℓ
1
,
ℓ
∞
⟩
{\displaystyle \langle \ell ^{1},\ell ^{\infty }\rangle }
c
⊆
ℓ
∞
{\displaystyle c\subseteq \ell ^{\infty }}
ℓ
1
{\displaystyle \ell ^{1}}
ℓ
∞
{\displaystyle \ell ^{\infty }}
ℓ
1
{\displaystyle \ell ^{1}}
連続的双対空間 と同型であり、
ℓ
1
{\displaystyle \ell ^{1}}
ℓ
∞
{\displaystyle \ell ^{\infty }}
c
{\displaystyle c}
ℓ
∞
{\displaystyle \ell ^{\infty }}
ℓ
∞
{\displaystyle \ell ^{\infty }}
ℓ
1
{\displaystyle \ell ^{1}}
ℓ
∞
{\displaystyle \ell ^{\infty }}
ℓ
1
{\displaystyle \ell ^{1}}
ℓ
∞
{\displaystyle \ell ^{\infty }}
ba空間 として知られ、自然数の集合の部分集合全体からなるシグマ代数の上の（符号付き）有限加法的測度、同じことであるが、自然数の集合のストーン・チェックのコンパクト化 の上の（符号付き）ボレル測度からなる。
関連項目 参考文献
M. Davis (2005). Applied Nonstandard Analysis . Dover Publications. ISBN 9780486442297 .
外部リンク
