余因子行列による証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/19 10:23 UTC 版)
「ケイリー・ハミルトンの定理」の記事における「余因子行列による証明」の解説
A の固有多項式を定義する行列 tIn − A は多項式行列である。多項式全体は可換環をなすから、この行列の余因子行列 B ( t ) := adj ( t I n − A ) {\displaystyle B(t):=\operatorname {adj} (tI_{n}-A)} が存在して、基本関係式により ( t I n − A ) B ( t ) = det ( t I n − A ) I n = p ( t ) I n {\displaystyle (tI_{n}-A)B(t)=\det(tI_{n}-A)I_{n}=p(t)I_{n}} (1) が成り立つ。 この B(t) もまた t を変数とする多項式行列であるから、各 i に対して行列の各成分から ti の項だけを取り出してまとめたものを係数行列 Bi として、 B ( t ) = ∑ i = 0 n − 1 t i B i {\displaystyle B(t)=\textstyle \sum \limits _{i=0}^{n-1}t^{i}B_{i}} (B) と書き直すことができる（B(t) の定義の仕方から、tn−1 より高次の冪は現れないことに注意）。これは、多項式行列を、「行列を係数とする多項式」（定数成分行列の線型結合）で表す便法である（それを強調するために ti は係数として左側に書いている）。 さて等式 1 を積の双線型性により展開すれば p ( t ) I n = t B ( t ) − A B ( t ) = ∑ i = 0 n − 1 t i + 1 B i − ∑ i = 0 n − 1 t i A B i = t n B n − 1 + ∑ i = 1 n − 1 t i ( B i − 1 − A B i ) − A B 0 =: t n I n + t n − 1 c n − 1 I n + ⋯ + t c 1 I n + c 0 I n {\displaystyle {\begin{aligned}p(t)I_{n}&=tB(t)-AB(t)\\&=\textstyle \sum \limits _{i=0}^{n-1}t^{i+1}B_{i}-\sum \limits _{i=0}^{n-1}t^{i}AB_{i}\\&=t^{n}B_{n-1}+\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n-1}t^{i}(B_{i-1}-AB_{i})-AB_{0}\\&=:t^{n}I_{n}+t^{n-1}c_{n-1}I_{n}+\cdots +tc_{1}I_{n}+c_{0}I_{n}\end{aligned}}} の形に書ける（これは t を変数とする2つの多項式行列の間の等式である）。この等式が成り立つのは、各 i について、ti を係数とする定数成分行列がそれぞれ等しくなるときである。このような係数比較（英語版） により、 B n − 1 = I n , B i − 1 − A B i = c i I n ( i = 1 , ⋯ , n − 1 ) , − A B 0 = c 0 I n {\displaystyle {\begin{aligned}&B_{n-1}=I_{n},\\&B_{i-1}-AB_{i}=c_{i}I_{n}\qquad (i=1,\cdots ,n-1),\\&-AB_{0}=c_{0}I_{n}\end{aligned}}} を得る。これにそれぞれ（比較に用いた ti に応じて）Ai を掛けて足し合わせた p ( A ) = A n + c n − 1 A n − 1 + ⋯ + c 1 A + c 0 I n = A n B n − 1 + ∑ i = 1 n − 1 ( A i B i − 1 − A i + 1 B i ) − A B 0 {\displaystyle {\begin{aligned}p(A)&=A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots +c_{1}A+c_{0}I_{n}\\&=A^{n}B_{n-1}+\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n-1}\left(A^{i}B_{i-1}-A^{i+1}B_{i}\right)-AB_{0}\end{aligned}}} は畳み込み和として全ての項が打ち消しあうから、p(A) = O となる。（証明終）
※この「余因子行列による証明」の解説は、「ケイリー・ハミルトンの定理」の解説の一部です。
「余因子行列による証明」を含む「ケイリー・ハミルトンの定理」の記事については、「ケイリー・ハミルトンの定理」の概要を参照ください。
- 余因子行列による証明のページへのリンク
