置換による証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/07 21:47 UTC 版)
A を n次正方行列とし、i, j ∈ {1, 2, …, n} を固定する。A の (i, j)小行列 Mi,j の成分を簡単のため ( b s , t ) 1 ≤ s , t ≤ n − 1 {\displaystyle (b_{s,t})_{1\leq s,t\leq n-1}} と書く。ai,j を因子に持つ |A| の展開項を考えると、それは σ(i) = j を満たす適当な置換 σ ∈ Sn により ( sgn σ ) a 1 , σ ( 1 ) ⋯ a i , j ⋯ a n , σ ( n ) = ( sgn σ ) a i , j b 1 , τ ( 1 ) ⋯ b n − 1 , τ ( n − 1 ) {\displaystyle (\operatorname {sgn} \sigma )\,a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{i,j}\cdots a_{n,\sigma (n)}=(\operatorname {sgn} \sigma )\,a_{i,j}\,b_{1,\tau (1)}\cdots b_{n-1,\tau (n-1)}} と表すことができる。ここで τ ∈ Sn−1 は行列式の展開項が等しくなるように σ から導かれるものであり、対応 τ ↔ σ は Sn−1 と {σ ∈ Sn | σ(i) = j} の間の全単射である。τ は σ で次のように表せる： τ = [ 1 ⋯ i − 1 i ⋯ n − 1 ( ← ) j σ ( 1 ) ⋯ ( ← ) j σ ( i − 1 ) ( ← ) j σ ( i + 1 ) ⋯ ( ← ) j σ ( n ) ] {\displaystyle \tau ={\begin{bmatrix}1&\cdots &i-1&i&\cdots &n-1\\(\leftarrow )_{j}\sigma (1)&\cdots &(\leftarrow )_{j}\sigma (i-1)&(\leftarrow )_{j}\sigma (i+1)&\cdots &(\leftarrow )_{j}\sigma (n)\end{bmatrix}}} ただし、(←)j はこの場だけの省略記法で、巡回置換 (n, n − 1, …, j + 1, j) を表すものとする。つまり、j より大きい番号は 1 ずつ減らし、j は n に写す置換（したがって、τ の像がきちんと集合 {1, 2, …, n − 1} になる）を意味するものとする。 τ からもとの σ を以下のようにして導出することができる：τ ∈ Sn−1 を τ′ ∈ Sn に拡張すると（このとき τ′(n) = n にならざるを得ない）、 τ ′ = [ 1 ⋯ i − 1 i ⋯ n − 1 n ( ← ) j σ ( 1 ) ⋯ ( ← ) j σ ( i − 1 ) ( ← ) j σ ( i + 1 ) ⋯ ( ← ) j σ ( n ) n ] {\displaystyle \tau '={\begin{bmatrix}1&\cdots &i-1&i&\cdots &n-1&n\\(\leftarrow )_{j}\sigma (1)&\cdots &(\leftarrow )_{j}\sigma (i-1)&(\leftarrow )_{j}\sigma (i+1)&\cdots &(\leftarrow )_{j}\sigma (n)&n\end{bmatrix}}} と表せる。このとき、先に (←)i（これは巡回置換 (n, n − 1, …, i + 1, i) のことである）を施してから τ′ を施す置換 τ′(←)i も、σ を施してから (←)j を施す置換 (←)jσ も、どちらも次の置換になる： [ 1 ⋯ i − 1 i i + 1 ⋯ n ( ← ) j σ ( 1 ) ⋯ ( ← ) j σ ( i − 1 ) n ( ← ) j σ ( i + 1 ) ⋯ ( ← ) j σ ( n ) ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\cdots &i-1&i&i+1&\cdots &n\\(\leftarrow )_{j}\sigma (1)&\cdots &(\leftarrow )_{j}\sigma (i-1)&n&(\leftarrow )_{j}\sigma (i+1)&\cdots &(\leftarrow )_{j}\sigma (n)\end{bmatrix}}} したがって (←)jσ = τ′(←)i, 故に σ = (→)jτ′(←)i を得る（ただし、(→)j は (←)j の逆置換である (j, j + 1, …, n) を表すとする）。故に σ = ( j , j + 1 , ⋯ , n ) τ ′ ( n , n − 1 , ⋯ , i ) {\displaystyle \sigma =(j,j+1,\cdots ,n)\tau '(n,n-1,\cdots ,i)} ここに現れる2つの巡回置換はそれぞれ n − i個と n − j個の互換の積で表せるから sgn σ = ( − 1 ) 2 n − ( i + j ) sgn τ ′ = ( − 1 ) i + j sgn τ {\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma =(-1)^{2n-(i+j)}\operatorname {sgn} \tau '=(-1)^{i+j}\operatorname {sgn} \tau } であり、また写像 τ ↔ σ が全単射であったから、 ∑ σ ∈ S n σ ( i ) = j ( sgn σ ) a 1 , σ ( 1 ) ⋯ a n , σ ( n ) = ∑ τ ∈ S n − 1 ( − 1 ) i + j ( sgn τ ) a i , j b 1 , τ ( 1 ) ⋯ b n − 1 , τ ( n − 1 ) = a i , j ( − 1 ) i + j | M i , j | = a i , j a ~ i , j {\displaystyle {\begin{aligned}\textstyle \sum \limits _{\sigma \in S_{n} \atop \sigma (i)=j}(\operatorname {sgn} \sigma )\,a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n,\sigma (n)}&=\textstyle \sum \limits _{\tau \in S_{n-1}}(-1)^{i+j}(\operatorname {sgn} \tau )\,a_{i,j}\,b_{1,\tau (1)}\cdots b_{n-1,\tau (n-1)}\\&=a_{i,j}(-1)^{i+j}\left|M_{i,j}\right|\\&=a_{i,j}\,{\widetilde {a}}_{i,j}\end{aligned}}} となり、ここから所期の結果が得られる。（証明終）
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