線型写像との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/01 07:43 UTC 版)
線型写像 Rn → Rm は既に述べたように m × n 行列と等価である。一般に有限次元ベクトル空間の間の線型写像 f: V → W は（V の次元を n, W の次元を m として） V の基底 v1, …, vn と W の基底 w1, …, wm を選べば f ( v j ) = ∑ i = 1 m a i , j w i ( j = 1 , … , n ) {\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{i,j}\mathbf {w} _{i}\quad (j=1,\ldots ,n)} を満たす行列 A = (aij) によって記述することができる。言い換えれば、A の第 j-列は基底ベクトル vj の像を W の基底 {wi} に関して表したものになっている。従ってこのような関係は行列 A の成分から一意的に定まる。注意すべきは線型写像を表す行列は基底の取り方に依存することである。基底の取り方を変えれば別な行列が生じるが、それはもとの行列と同値になる。既に述べた具体的な概念の多くはこの方法を通して解釈しなおすことができる。例えば転置行列 A⊤ は A の定める線型写像の転置写像を、双対基底に関して記述するものである。。 より一般に、m × n 行列全体の成す集合は、勝手な単位的環 R に対して自由加群 Rm および Rn の間の R-線型写像を表すのに利用することができる。n = m のとき、そのような写像の合成を定義することができて、n-次正方行列全体の成す全行列環が、Rn の自己準同型環を表現するものとして生じる。
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