Ykm(θ, φ) の意義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/07 03:05 UTC 版)
「球面調和関数」の記事における「Ykm(θ, φ) の意義」の解説
Y mk (θ, φ) は斉次多項式に関する3次元空間のラプラス方程式を変数分離で解く事で自然に得られる。k 次の斉次多項式 p に対し、変数分離形 p(r, θ, φ) = R(r) Θ(θ) Φ(φ) でラプラス方程式 Δp = 0 を解くと、変数分離形の解は必ず p ( r , θ , ϕ ) = r k ( A Y k m ( θ , ϕ ) + B Y k − m ( θ , ϕ ) ) , {\displaystyle p(r,\theta ,\phi )=r^{k}(AY_{k}{}^{m}(\theta ,\phi )+BY_{k}{}^{-m}(\theta ,\phi )),} m は整数で k ≤ |m| と書ける事を証明できる。 証明 Y mk (θ, φ) は斉次多項式に関する3次元空間のラプラス方程式を変数分離で解く事で自然に得られるものである。このことを見るために3次元空間 R3 を球面座標 (r, θ, φ) でラプラス作用素を表記すると、 Δ = 1 r 2 ( Δ r + Δ s ) {\displaystyle \Delta ={\frac {1}{r^{2}}}(\Delta _{r}+\Delta _{s})} となる。ここで、 Δ r = ∂ ∂ r ( r 2 ∂ ∂ r ) , {\displaystyle \Delta _{r}={\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right),} Δ s = 1 sin θ ∂ ∂ θ sin θ ∂ ∂ θ + 1 sin 2 θ ∂ 2 ∂ φ 2 {\displaystyle \Delta _{s}={\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}} である。定義より次数 k の球面調和関数は、k 次の斉次多項式 p を単位球面上に制限したものとして表現可能である。p が k 次の斉次多項式である事から、p の極座標表示は p(r, θ, φ) = rkY(θ, φ) (A1) の形に書ける。ラプラス方程式 Δp = 0 の以下、変数分離解 Y(θ, φ) = Θ(θ) Φ(φ) を求める。R(r) = rk とすれば、 1 R Δ r R = 1 R d d r ( r 2 d R d r ) = k ( k + 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{R}}\Delta _{r}R={\frac {1}{R}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}\left(r^{2}{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} r}}\right)=k(k+1)} なので、変数分離解をラプラス方程式の極座標表示に代入することで、 1 Y Δ s Y = − k ( k + 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{Y}}\Delta _{s}Y=-k(k+1)} が成立する。上式に対してさらに変数分離を適用する事で、複素数 m を適切に選べば 1 Φ d 2 Φ d φ 2 = − m 2 {\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\Phi }{\mathrm {d} \varphi ^{2}}}=-m^{2}} (A2) k ( k + 1 ) sin 2 θ + sin θ Θ d d θ ( sin θ d Θ d θ ) = m 2 {\displaystyle k(k+1)\sin ^{2}\theta +{\frac {\sin \theta }{\Theta }}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\mathrm {d} \Theta }{\mathrm {d} \theta }}\right)=m^{2}} (A3) が成立する事がわかる。以下、m が定数である場合の解を求める。 (A2) は初等的に解くことができ、一般解 Φ ( ϕ ) = A e i m ϕ + B e − i m ϕ {\displaystyle \Phi (\phi )=A\mathrm {e} ^{im\phi }+B\mathrm {e} ^{-im\phi }} (A4) を得られる。ここで i は虚数単位である。それに対しスツルム＝リウヴィル型の微分方程式 (A3) は t = cos θ と変数変換すると、y(t) = Θ(arccos t) はルジャンドルの陪微分方程式 ( 1 − t 2 ) y ″ ( t ) − 2 t y ′ ( t ) + ( k ( k + 1 ) − m 2 1 − t 2 ) y ( t ) = 0 {\displaystyle (1-t^{2})y''(t)-2t\,y'(t)+\left(k(k+1)-{\frac {m^{2}}{1-t^{2}}}\right)y(t)=0} を満たす。よってルジャンドルの陪多項式 P mk (t) を (B3) のように定義すれば、結論として Θ ( θ ) = P k | m | ( cos θ ) {\displaystyle \Theta (\theta )=P_{k}^{|m|}(\cos {\theta })} (A5) がわかる。ここで k は (B2) の条件を満たす整数である。そこで Y mk (θ, φ) を Y k m ( θ , ϕ ) = ( − 1 ) ( m + | m | ) / 2 2 k + 1 4 π ( k − | m | ) ! ( k + | m | ) ! P k | m | ( cos θ ) e i m ϕ {\displaystyle Y_{k}^{m}(\theta ,\phi )=(-1)^{(m+|m|)/2}{\sqrt {{\frac {2k+1}{4\pi }}{\frac {(k-|m|)!}{(k+|m|)!}}\,}}\,P_{k}^{|m|}(\cos \theta )\,e^{im\phi }} と定義すれば、(A1), (A4), (A5), (B2) より、変数分離形の k 次の調和多項式 p は必ず p ( r , θ , ϕ ) = r k ( A Y k m ( θ , ϕ ) + B Y k − m ( θ , ϕ ) ) , {\displaystyle p(r,\theta ,\phi )=r^{k}(AY_{k}{}^{m}(\theta ,\phi )+BY_{k}{}^{-m}(\theta ,\phi )),} m は整数で k ≤ |m|, と書ける事になる。なお、p を直交座標に変換すると p が斉次多項式になっている事を確認できる。 また、3次元空間の場合、k 次球面調和関数全体のなすベクトル空間 Hk の次元は、(P2) より dim C H k = 2 k + 1 {\displaystyle \operatorname {dim} _{\mathbf {C} }{\mathcal {H}}_{k}=2k+1} なので、(B2) より、以下の結論が得られる： 定理1 ― 3次元空間の場合、Y −kk (θ, φ), …, Y kk (θ, φ) は Hk の基底である。すなわち3次元空間の場合、（変数分離形とは限らない）次数 k の斉次多項式（の球面への制限）Y が球面調和関数となる必要十分条件は、Y がこれらの関数の線形和として書ける事である。
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