ヘルムホルツ方程式を変数分離で解く
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:36 UTC 版)
「ヘルムホルツ方程式」の記事における「ヘルムホルツ方程式を変数分離で解く」の解説
空間に関するヘルムホルツ方程式 ( ∇ 2 + k 2 ) A = 0 {\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})A=0} の一般解は、変数分離によって求められる。 球座標では、一般解は A ( r , θ , ϕ ) = ∑ k ∑ l = 0 ∞ ∑ m = − l l { a l m j l ( k r ) + b l m n l ( k r ) } Y l m ( θ , ϕ ) {\displaystyle A(r,\theta ,\phi )=\sum _{k}\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\{a_{lm}j_{l}(kr)+b_{lm}n_{l}(kr)\}\,Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )} と表される。この解は波動方程式や拡散方程式の空間部分の解から出てくる。ここで jl と nl は球ベッセル関数で、 Ylm (θ, φ) は球面調和関数である。 2次元の極座標では、一般解は A ( r , θ ) = ∑ k ∑ n = 0 ∞ { a n cos ( n θ ) + b n sin ( n θ ) } J n ( k r ) {\displaystyle A(r,\theta )=\sum _{k}\sum _{n=0}^{\infty }\{a_{n}\cos(n\theta )+b_{n}\sin(n\theta )\}\,J_{n}(kr)} と表される。Jn はベッセル関数である。この解は原点で正則なものであり、より一般的な解は原点で正則でないもうひとつのベッセル関数 Yn を含む。これは解を考える範囲として原点を含まない場合には考える必要がある。この極座標の解は太鼓の膜の振動を表すのに用いられる。 以上の解はどれも一般解であり、特定の場合に適用するには境界条件が必要であることに注意されたい。
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