ポアンカレ多項式の計算例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/02/11 06:13 UTC 版)
「ベッチ数」の記事における「ポアンカレ多項式の計算例」の解説
円に対するベッチ数の列は、1, 1, 0, 0, 0, ...ポアンカレ多項式は、 1 + x {\displaystyle 1+x\,} . 2-トーラスに対するベッチ数の列は 1, 2, 1, 0, 0, 0, ...ポアンカレ多項式は、 ( 1 + x ) 2 = 1 + 2 x + x 2 {\displaystyle (1+x)^{2}=1+2x+x^{2}\,} . 3-トーラスに対するベッチ数の列は 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, ...ポアンカレ多項式は、 ( 1 + x ) 3 = 1 + 3 x + 3 x 2 + x 3 {\displaystyle (1+x)^{3}=1+3x+3x^{2}+x^{3}\,} . 同様に、n-次元トーラスに対してポアンカレ多項式は、 ( 1 + x ) n {\displaystyle (1+x)^{n}\,} （キネットの定理（英語版）により）、ベッチ数は二項係数である。 無限次元の複素射影空間のベッチ数の列は、1, 0, 1, 0, 1, ... と周期的となるので、周期の長さは 2 である。この場合は、ポアンカレ函数は多項式ではなく、無限級数 1 + x 2 + x 4 + ⋯ {\displaystyle 1+x^{2}+x^{4}+\dotsb } 1 1 − x 2 = 1 + x 2 + ( x 2 ) 2 + ( x 2 ) 3 + ⋯ . {\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}=1+x^{2}+(x^{2})^{2}+(x^{2})^{3}+\dotsb .} P S U ( n + 1 ) ( x ) = ( 1 + x 3 ) ( 1 + x 5 ) . . . ( 1 + x 2 n + 1 ) {\displaystyle P_{SU(n+1)_{}}(x)=(1+x^{3})(1+x^{5})...(1+x^{2n+1})} P S O ( 2 n + 1 ) ( x ) = ( 1 + x 3 ) ( 1 + x 7 ) . . . ( 1 + x 4 n − 1 ) {\displaystyle P_{SO(2n+1)_{}}(x)=(1+x^{3})(1+x^{7})...(1+x^{4n-1})} P S p ( n ) ( x ) = ( 1 + x 3 ) ( 1 + x 7 ) . . . ( 1 + x 4 n − 1 ) {\displaystyle P_{Sp(n)_{}}(x)=(1+x^{3})(1+x^{7})...(1+x^{4n-1})} P S O ( 2 n ) ( x ) = ( 1 + x 2 n − 1 ) ( 1 + x 3 ) ( 1 + x 7 ) . . . ( 1 + x 4 n − 5 ) {\displaystyle P_{SO(2n)_{}}(x)=(1+x^{2n-1})(1+x^{3})(1+x^{7})...(1+x^{4n-5})} P G 2 ( x ) = ( 1 + x 3 ) ( 1 + x 11 ) {\displaystyle P_{G_{2}}(x)=(1+x^{3})(1+x^{11})} P F 4 ( x ) = ( 1 + x 3 ) ( 1 + x 11 ) ( 1 + x 15 ) ( 1 + x 23 ) {\displaystyle P_{F_{4}}(x)=(1+x^{3})(1+x^{11})(1+x^{15})(1+x^{23})} P E 6 ( x ) = ( 1 + x 3 ) ( 1 + x 9 ) ( 1 + x 11 ) ( 1 + x 15 ) ( 1 + x 17 ) ( 1 + x 23 ) {\displaystyle P_{E_{6}}(x)=(1+x^{3})(1+x^{9})(1+x^{11})(1+x^{15})(1+x^{17})(1+x^{23})} P E 7 ( x ) = ( 1 + x 3 ) ( 1 + x 11 ) ( 1 + x 15 ) ( 1 + x 19 ) ( 1 + x 23 ) ( 1 + x 27 ) ( 1 + x 35 ) {\displaystyle P_{E_{7}}(x)=(1+x^{3})(1+x^{11})(1+x^{15})(1+x^{19})(1+x^{23})(1+x^{27})(1+x^{35})} P E 8 ( x ) = ( 1 + x 3 ) ( 1 + x 15 ) ( 1 + x 23 ) ( 1 + x 27 ) ( 1 + x 35 ) ( 1 + x 39 ) ( 1 + x 47 ) ( 1 + x 59 ) {\displaystyle P_{E_{8}}(x)=(1+x^{3})(1+x^{15})(1+x^{23})(1+x^{27})(1+x^{35})(1+x^{39})(1+x^{47})(1+x^{59})} となる。
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