ポアンカレ＝ヴィルティンガー不等式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/15 09:21 UTC 版)
「ポアンカレ不等式」の記事における「ポアンカレ＝ヴィルティンガー不等式」の解説
1 ≤ p ≤ ∞ とし、Ω はリプシッツ境界を持つ n-次元ユークリッド空間 Rn の有界連結開部分集合とする（すなわち、Ω はリプシッツ領域である）。このとき、Ω と p にのみ依存する定数 C で、ソボレフ空間 W1,p(Ω) 内のすべての函数 u に対して次を満たすものが存在する。 ‖ u − u Ω ‖ L p ( Ω ) ≤ C ‖ ∇ u ‖ L p ( Ω ) . {\displaystyle \|u-u_{\Omega }\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{L^{p}(\Omega )}.} ここに u Ω := 1 | Ω | ∫ Ω u ( y ) d y {\displaystyle u_{\Omega }:={\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }u(y)\,\mathrm {d} y} は Ω についての u の平均値で、|Ω| は領域 Ω のルベーグ測度を表す。Ω が球のとき、この不等式は (p,p)-ポアンカレ不等式と呼ばれる。より一般の領域 Ω に対しては、この不等式はソボレフ不等式として有名である。
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