ポアンカレ平面上の計量と体積要素
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/05 07:54 UTC 版)
「ポワンカレ計量」の記事における「ポアンカレ平面上の計量と体積要素」の解説
ポアンカレ上半平面模型におけるポアンカレ計量テンソルは上半平面 H 上で d s 2 = d x 2 + d y 2 y 2 = d z d z ¯ y 2 {\displaystyle ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{y^{2}}}={\frac {dz\,d{\bar {z}}}{y^{2}}}} なるものとして与えられる。ここで dz = dx + i dy と書いた。この計量テンソルは SL(2, R) の作用の下で不変である。実際、ad − bc = 1 なる実数 a, b, c, d を用いて z ′ = x ′ + i y ′ = a z + b c z + d {\displaystyle z'=x'+iy'={\frac {az+b}{cz+d}}} と書くとき、 x ′ = a c ( x 2 + y 2 ) + x ( a d + b c ) + b d | c z + d | 2 , y ′ = y | c z + d | 2 {\displaystyle x'={\frac {ac(x^{2}+y^{2})+x(ad+bc)+bd}{|cz+d|^{2}}},\quad y'={\frac {y}{|cz+d|^{2}}}} が成り立ち、無限小変換は d z ′ = d z ( c z + d ) 2 , d z ′ d z ¯ ′ = d z d z ¯ | c z + d | 4 {\displaystyle dz'={\frac {dz}{(cz+d)^{2}}},\quad dz'd{\bar {z}}'={\frac {dz\,d{\bar {z}}}{|cz+d|^{4}}}} で与えられるから、先の計量テンソルが SL(2,R) のもとで不変であることは明らかである。 不変体積要素は d μ = d x d y y 2 {\displaystyle d\mu ={\frac {dx\,dy}{y^{2}}}} で与えられる。また、計量を z1, z2 ∈ H に対して ρ ( z 1 , z 2 ) = 2 tanh − 1 | z 1 − z 2 | | z 1 − z ¯ 2 | , {\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=2\tanh ^{-1}{\frac {|z_{1}-z_{2}|}{|z_{1}-{\bar {z}}_{2}|}},} ρ ( z 1 , z 2 ) = log | z 1 − z ¯ 2 | + | z 1 − z 2 | | z 1 − z ¯ 2 | − | z 1 − z 2 | {\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=\log {\frac {|z_{1}-{\bar {z}}_{2}|+|z_{1}-z_{2}|}{|z_{1}-{\bar {z}}_{2}|-|z_{1}-z_{2}|}}} などと書くことができる。他にもこの計量の重要な表し方として、複比を用いる形のものがある。一点コンパクト化された複素数平面 C ^ = C ∪ { ∞ } {\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}} 上の任意の四点 z1, z2, z3, z4 に対して、それらの複比が ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) = ( z 1 − z 2 ) ( z 3 − z 4 ) ( z 2 − z 3 ) ( z 4 − z 1 ) {\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {(z_{1}-z_{2})(z_{3}-z_{4})}{(z_{2}-z_{3})(z_{4}-z_{1})}}} で与えられ、計量は ρ ( z 1 , z 2 ) = ln ( z 1 , z 2 × ; z 2 , z 1 × ) {\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=\ln(z_{1},z_{2}^{\times };z_{2},z_{1}^{\times })} と書ける。ただし、z1×, z2× は、z1 と z2 とを測地的に結ぶ実数直線上での両端点であり、またこれらは z1 が z1× と z2 の間にあるように番号付けられている。 この計量に対する測地線は、実軸に直交する円弧（原点が実軸上にある半円）および実軸上に端点を持つ垂直線である。
※この「ポアンカレ平面上の計量と体積要素」の解説は、「ポワンカレ計量」の解説の一部です。
「ポアンカレ平面上の計量と体積要素」を含む「ポワンカレ計量」の記事については、「ポワンカレ計量」の概要を参照ください。
- ポアンカレ平面上の計量と体積要素のページへのリンク
