連続函数の微分としての超函数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/14 06:00 UTC 版)
「シュワルツ超函数」の記事における「連続函数の微分としての超函数」の解説
シュワルツ超函数の厳密な定義は D(U) の（緩増加超函数の場合は S(Rd) の）代数的双対と呼ばれる非常に大きなベクトル空間の部分空間としてその全体を明示するものである。このような定義からは、このなかにどれほど奇妙な超函数が潜んでいるかといったようなことは、あまりはっきりとは窺い知れない。これに答えるには、連続函数の空間のようなより小さな空間から超函数を作り上げてみるというのが有益である。雑な言い方をすれば、任意の超函数は局所的に連続函数の（高階）導函数になっている。正確な内容は後で述べるとして、このことはコンパクト台付き超函数に対しても、緩増加超函数に対しても、もっと一般の超函数に対しても正しい。一般論として、超函数全体の成す空間のなかで、全ての連続函数を含み微分に関して閉じているような真の部分集合は存在しない。このことが示すのは、超函数の中に取り立てて奇妙な対象は含まれておらず、ただ必要に応じた複雑さを持っているだけであるということである。
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