可換の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/05 23:01 UTC 版)
可換局所環 R が極大イデアル m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} をもつことを ( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} と表すことにする。可換局所環 ( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} は m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} の冪全体を 0 近傍系の基とする位相（これを m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} -進位相と呼ぶ）により自然な方法で位相環となる。 二つの局所環 ( R , m ) , ( S , n ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}}),(S,{\mathfrak {n}})} に対して、R から S への局所環準同型とは、環準同型 f : R → S であって、 f ( m ) ⊂ n {\displaystyle f({\mathfrak {m}})\subset {\mathfrak {n}}} を満たすもののことを言う。 ( R , m ) , ( S , n ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}}),(S,{\mathfrak {n}})} を m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} -進位相, n {\displaystyle {\mathfrak {n}}} -進位相でそれぞれ位相環と見れば、この位相に関して連続な環準同型が、局所環の準同型である。 位相環として見た場合に、 ( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} は完備であるかという問いを与えることができるが、これは一般には正しくない。しかしその完備化はやはり局所環となる。 もし ( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} が可換ネーター的局所環であるならば、 ⋂ i = 1 ∞ m i = { 0 } {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }{\mathfrak {m}}^{i}=\{0\}} が成り立つ（クルルの交叉定理）。したがって、R は m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} -進位相に関してハウスドルフ空間になる。
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