可換 PIR の構造理論
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/11 02:17 UTC 版)
「単項イデアル環」の記事における「可換 PIR の構造理論」の解説
上の例 4 で構成された主環はつねにアルティン環である。とくに、それらは主アルティン局所環の有限直積に同型である。局所アルティン主環は special principal ring と呼ばれ、極めて単純なイデアル構造をもつ：有限個のイデアルしか存在せず、各々は極大イデアルの冪なのである。この理由のために、special principal rings は uniserial rings の例である。 次の結果は主環の完全な分類を special principal rings と主イデアル整域の言葉によって与える。 Zariski–Samuel の定理： R を主環とする。すると R は直積 ∏ i = 1 n R i {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}R_{i}} として書ける、ただし各 Ri は主イデアル整域であるかまたは special principal ring である。 証明は中国剰余定理を零イデアルの極小準素分解に適用する。 Hungerford による以下の結果も存在する： 定理 (Hungerford)： R を主環とする。すると R は直積 ∏ i = 1 n R i {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}R_{i}} として書ける、ただし各 Ri は主イデアル整域の商である。 Hungerford の定理の証明は完備局所環 (complete local ring) に対する コーエンの構造定理（英語版）を用いる。 上記例 3 のように議論し Zariski-Samuel の定理を使うことで次のことを確認するのは易しい。Hungerford の定理は任意の special principal ring が離散付値環の商であるというステートメントと同値である。
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