可換整域および可換体の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/16 00:42 UTC 版)
「平方根」の記事における「可換整域および可換体の場合」の解説
（可換）整域の各元が二つより多くの平方根を持つことはない。実際、乗法の可換性により二平方数の差の公式（英語版） u2 − v2 = (u − v)(u + v) が成り立つことに注意すれば、u, v が同じ元の平方根であるとき u2 − v2 = 0, ゆえに零因子を持たないことから u = v または u + v = 0 であることが従う。後者は、二つの平方根が互いに加法逆元の関係にあることを言っているのだから、すなわち一つの元の平方根は（存在すれば）符号の違いを除いて一意である。特に、整域において零元 0 の平方根は 0 自身のみである。 標数 2 の可換体において、各元の平方根は一つ持つ（各元が自身を加法逆元にもつことに注意せよ）か、全く持たないかの何れかとなる（標数 2 の有限体においては任意の元が一意な平方根を持つ）。それ以外の任意の標数の体においては、先の段落のとおり任意の非零元が二つの平方根を持つか全く持たないかの何れかとなる。 奇素数 p と適当な正整数 e に対し q = pe と置く。q-元体 Fq の非零元が平方剰余であるとは、その平方根が Fq に属することを言い、さもなくば平方非剰余であるという。この体において (q − 1)/2 個の元が平方剰余であり、(q − 1)/2 個が非剰余である（零元はいずれのクラスにも属さないことに注意）。平方剰余元の全体は乗法に関して群を成す。この性質は代数的整数論において広く用いられる。
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