ガウスの方法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/18 16:03 UTC 版)
カール・フリードリヒ・ガウスによる方法は摂動関数ではなく天体に働く力を陽に扱うものであり、非保存力を扱うことができる。この場合、運動方程式を d 2 r d t 2 = − μ r | r | 3 + F ( t , r , r ˙ ) {\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=-\mu {\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}+\mathbf {F} (t,\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }})} と書くとき、 I = I ( r , r ˙ ) {\displaystyle I=I(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }})} を軌道要素として摂動方程式は d I d t = ∂ I ∂ r ˙ ⋅ F {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}={\frac {\partial I}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}\cdot \mathbf {F} } により与えられる。摂動 F {\displaystyle \mathbf {F} } の成分としては以下の2通りの与え方がある。 動径成分 R ′ {\displaystyle R'} 、軌道面内の R ′ {\displaystyle R'} の法線成分 S ′ {\displaystyle S'} 、軌道面の法線成分 W ′ {\displaystyle W'} 。 軌道の接成分 T ′ {\displaystyle T'} 、軌道面内の T ′ {\displaystyle T'} の法線成分 N ′ {\displaystyle N'} 、軌道面の法線成分 W ′ {\displaystyle W'} 。 前者の立場では、軌道要素 { a , e , i , Ω , ω , t 0 } {\displaystyle \{a,e,i,\Omega ,\omega ,t_{0}\}} に関するガウスの摂動方程式は次により与えられる。ここに p {\displaystyle p} は半直弦である。 d a d t = p μ 2 a 1 − e 2 { e sin f R ′ + p r S ′ } {\displaystyle {\frac {da}{dt}}={\sqrt {\frac {p}{\mu }}}{\frac {2a}{1-e^{2}}}\left\{e\sin fR'+{\frac {p}{r}}S'\right\}} d e d t = p μ { sin f R ′ + ( cos f + cos E ) S ′ } {\displaystyle {\frac {de}{dt}}={\sqrt {\frac {p}{\mu }}}\left\{\sin fR'+(\cos f+\cos E)S'\right\}} d i d t = r cos ( f + ω ) n a 2 1 − e 2 W ′ {\displaystyle {\frac {di}{dt}}={\frac {r\cos(f+\omega )}{na^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}}}W'} d Ω d t = r sin ( f + ω ) n a 2 1 − e 2 sin i W ′ {\displaystyle {\frac {d\Omega }{dt}}={\frac {r\sin(f+\omega )}{na^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}\sin i}}W'} d ω d t = 1 e p μ { − cos f R ′ + ( 1 + r p ) sin f S ′ } − cos i d Ω d t {\displaystyle {\frac {d\omega }{dt}}={\frac {1}{e}}{\sqrt {\frac {p}{\mu }}}\left\{-\cos fR'+\left(1+{\frac {r}{p}}\right)\sin fS'\right\}-\cos i{\frac {d\Omega }{dt}}} d t 0 d t = − 1 − e 2 n 2 a e { ( cos f − 2 e r p ) R ′ − ( 1 + r p ) sin f S ′ } − 3 2 a ( t − t 0 ) d a d t {\displaystyle {\frac {dt_{0}}{dt}}=-{\frac {1-e^{2}}{n^{2}ae}}\left\{\left(\cos f-2e{\frac {r}{p}}\right)R'-\left(1+{\frac {r}{p}}\right)\sin fS'\right\}-{\frac {3}{2a}}(t-t_{0}){\frac {da}{dt}}}
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