ガウスの貢献とは? わかりやすく解説

ガウスの貢献

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/07/18 03:21 UTC 版)

合同算術」の記事における「ガウスの貢献」の解説

17歳ガウス (1777 - 1855) は平方剰余の相互法則示した。翌1796年3月30日ガウス17次の円分方程式を解くというきわめて算術的研究過程で、古来から未解決幾何学的問題であった定規コンパスによる正十七角形の作図が可能であることに気付く。最終的に1801年ガウスは "Disquisitiones Arithmeticae"(『算術研究』)を著して数学王子渾名された。 これら二つ大きな発見は共に、フェルマーオイラー用いたような道具よりもより抽象的明確な道具用いて証明掛かる大きな負担軽減するという過程のなかで為されており、その過程合同算術として結実するガウス整数係数多項式つかって整数概念の拡張行い今日ではガウス整数呼ばれる数の集合得ている。ディリクレ (1805 - 1859) も類似の整数集合発見しており(それはディリクレ整数呼ばれる)、それを足がかりとしてフェルマーの大定理の n = 5 の場合証明した。その論文1825年科学アカデミー提出されルジャンドル数ヶ月亘る査読受けた後に受理されている そのころフェルマー整数問題は、最終定理を除くすべて解決されていたが、新し予想現われていた。たとえば、a と b が互いに素ならば初項 a で公差が b の等差数列のなかに素数存在するか、存在するとしたらどのくらい含まれるか、というものであるガウスルジャンドルらの数学者無限に存在するだろうと考えたが、平方剰余の相互法則同様の高次冪剰余対す相互法則が必要であり、証明はできなかった。 その後合同算術発展続けディリクレディリクレ指標概念解析数論基礎固めることによって算術級数定理証明した。その証明合同算術珠玉ともいえるもので、ヤコビ (1804 - 1851) は兄弟の手紙に .mw-parser-output .templatequote{overflow:hidden;margin:1em 0;padding:0 40px}.mw-parser-output .templatequote .templatequotecite{line-height:1.5em;text-align:left;padding-left:1.6em;margin-top:0} En appliquant les séries de Fourier à la théorie des nombres, Dirichlet a récemment trouvé des résultats atteignant les sommets de la perspicacité humaine.(フーリエ級数数論応用することで、ディリクレ人類英知頂点とも言える結果到達した) と記している。今では有限可換群上の調和解析から得られる道具用いて証明することができるが、ルジャンドルそういった道具用いておらず、今ではルジャンドル記号呼ばれる概念定式化することにより、平方剰余の相互法則同様の計算実数に対して行うことで証明したガウス1801年著書最終的にこの方法を複素数にまで拡張した。この計算ガウス和ガウス周期呼ばれる19世紀にはこれらの数学超越数論と呼ばれ算術 (arithmetic) という呼称もより一般数学を指す言葉として残ったが、1830年ルジャンドルは、この十分に発展遂げた分野を表すため、数論 (theory of numbers) という呼称考案したガウスのころの算術とは異な新しい手法用いられるようになり、代数的整数-論解析的-数論という分科現れるうになると、超越数登場もあって、超越数論という呼称過去のものとなっていった。

※この「ガウスの貢献」の解説は、「合同算術」の解説の一部です。
「ガウスの貢献」を含む「合同算術」の記事については、「合同算術」の概要を参照ください。

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