順序位相とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

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順序位相

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/05/06 09:21 UTC 版)

「凸集合」の記事における「順序位相」の解説

順序位相（英語版）を持つ空間 X に対しても、その空間の全順序 < を用いて、凸性の概念を定義することができる。 Y ⊆ X とするとき、部分空間 Y が凸集合であるとは、Y の任意の二点 a, b で a < b を満たすものに対して、区間 (a, b) = {x ∈ X : a < x < b} が Y に含まれるときにいう。つまり、Y が凸となる必要十分条件は、任意の a, b ∈ Y に対し、a < b ならば (a, b) ⊆ Y が成り立つことである。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/23 09:23 UTC 版)

「全順序」の記事における「順序位相」の解説

任意の全順序集合 X に対して、開区間が (a, b) = {x | a < x and x < b} (−∞, b) = {x | x < b} (a, ∞) = {x | a < x} (−∞, ∞) = X で定義できる。これらの開区間を用いて任意の順序集合上に位相を定義することができる（順序位相（英語版）の項を参照）。一つの集合上に複数の順序が定義されているとき、そのそれぞれから誘導される順序位相について考えることができる。例えば、自然数の集合 N に小なり < と大なり > の二つの全順序を考えると、< の誘導する N の順序位相も > の誘導する N の順序位相も考えられる（今の場合は両者は一致するが、一般には必ずしも一致しない）。全順序の誘導する順序位相は、遺伝的正規であることが示せる。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/11 02:16 UTC 版)

「順序集合」の記事における「順序位相」の解説

全順序集合 A に対し、無限半開区間 ( − ∞ , b ) = { x ∈ A ∣ x < b } {\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in A\mid x<b\}} ( a , ∞ ) = { x ∈ A ∣ a < x } {\displaystyle (a,\infty )=\{x\in A\mid a<x\}} 全体の集合を準開基とする位相を順序位相 (order topology) という。例えば、実数全体の集合 R {\displaystyle \mathbb {R} } を通常の大小関係 ≤ による全順序集合と見ると、その順序位相は通常の距離により定められる位相と同等になる。全順序集合 A の部分集合 B には、B を全順序集合と見なした時の順序位相と A の順序位相から誘導される位相との2つの位相が入る。しかしこの2つの位相は一致するとは限らない。（B の順序位相における開集合は誘導位相でも開集合であるが逆は一般には成り立たない）。例えば A を実数全体の集合とし、A の部分集合 B = { x ∣ 0 < x < 1 } ∪ { 2 } {\displaystyle B=\{x\mid 0<x<1\}\cup \{2\}} を考えると、A からB に誘導される位相では一元集合 {2} は明らかに開集合であるが、B は順序集合としてみたときはそうではない。実際 B は（2を1に移す写像により） C = { x ∣ 0 < x ≤ 1 } {\displaystyle C=\{x\mid 0<x\leq 1\}} と順序同型だが、C の順序位相で {1} は開集合ではないので B の順序位相で{2} は開集合ではない。