順序の反転
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/20 04:59 UTC 版)
凸共役は、順序を反転させる。すなわち、 f ≤ g {\displaystyle f\leq g} ならば f ∗ ≥ g ∗ {\displaystyle f^{*}\geq g^{*}} である。ここで ( f ≤ g ) : ⟺ ( ∀ x , f ( x ) ≤ g ( x ) ) {\displaystyle (f\leq g):\iff (\forall x,f(x)\leq g(x))} である。函数の族 ( f α ) α {\displaystyle \left(f_{\alpha }\right)_{\alpha }} に対し、上限は交換されうるという事実により、次が従う。 ( inf α f α ) ∗ ( x ) = sup α f α ∗ ( x ) . {\displaystyle \left(\inf _{\alpha }f_{\alpha }\right)^{*}(x)=\sup _{\alpha }f_{\alpha }^{*}(x).} さらに最大最小不等式により、次が従う。 ( sup α f α ) ∗ ( x ) ≤ inf α f α ∗ ( x ) . {\displaystyle \left(\sup _{\alpha }f_{\alpha }\right)^{*}(x)\leq \inf _{\alpha }f_{\alpha }^{*}(x).}
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