最大最小不等式

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最大最小不等式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/06/06 14:01 UTC 版)

数学における最大最小不等式（さいだいさいしょうふとうしき、英: max-min inequality）とは次の不等式のことをいう：任意の空でない函数 ${\displaystyle f\colon Z\times W\to \mathbb {R} }$ に対し

${\displaystyle \sup _{z\in Z}\inf _{w\in W}f(z,w)\leq \inf _{w\in W}\sup _{z\in Z}f(z,w)\,}$

が成り立つ。等号が成り立つとき、${\displaystyle f,W,Z}$ は強最大最小性（あるいは鞍点性）を満たすという。

証明

${\displaystyle g(z)\triangleq \inf _{w\in W}f(z,w)}$ と定義する。

${\displaystyle \implies g(z)\leq f(z,w),\forall z,w}$

${\displaystyle \implies \sup _{z}g(z)\leq \sup _{z}f(z,w),\forall w}$

${\displaystyle \implies \sup _{z}\inf _{w}f(z,w)\leq \sup _{z}f(z,w),\forall w}$

${\displaystyle \implies \sup _{z}\inf _{w}f(z,w)\leq \inf _{w}\sup _{z}f(z,w)\qquad \square }$

関連項目

• 最小最大定理（英語版）

参考文献

• Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004), Convex Optimization, Cambridge University Press 

• "Max Min of function less than Min max of function", http://math.stackexchange.com/q/186697/61602