順序の和
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/23 09:23 UTC 版)
二つの順序 ( A 1 , ≤ 1 ) {\displaystyle (A_{1},\leq _{1})} と ( A 2 , ≤ 2 ) {\displaystyle (A_{2},\leq _{2})} の非交和と呼ばれる自然な順序 ≤ + {\displaystyle \leq _{+}} が和集合 A 1 ∪ A 2 {\displaystyle A_{1}\cup A_{2}} 上に定義される。しばしばこれを順序集合の和と呼び、単に A 1 + A 2 {\displaystyle A_{1}+A_{2}} で表す。 x , y ∈ A 1 ∪ A 2 {\displaystyle x,y\in A_{1}\cup A_{2}} に対し x ≤ + y {\displaystyle x\leq _{+}y} は以下の何れかひとつを満足することと定められる: x , y ∈ A 1 {\displaystyle x,y\in A_{1}} かつ x ≤ 1 y {\displaystyle x\leq _{1}y} x , y ∈ A 2 {\displaystyle x,y\in A_{2}} かつ x ≤ 2 y {\displaystyle x\leq _{2}y} x ∈ A 1 {\displaystyle x\in A_{1}} かつ y ∈ A 2 {\displaystyle y\in A_{2}} 直観的にはこれは二番目の集合の各元を一番目の集合の最大元の後ろに並べることを意味する。 より一般に、全順序付けられた添字集合 ( I , ≤ ) {\displaystyle (I,\leq )} の各元 i ∈ I {\displaystyle i\in I} に対して全順序集合 ( A i , ≤ i ) {\displaystyle (A_{i},\leq _{i})} が対応して、各集合は対ごとに交わらないものとするとき、 ⋃ i A i {\displaystyle \bigcup _{i}A_{i}} 上の自然な全順序が x , y ∈ ⋃ i ∈ I A i {\displaystyle x,y\in \bigcup _{i\in I}A_{i}} に対して x ≤ y {\displaystyle x\leq y} であるとは、適当な i ∈ I {\displaystyle i\in I} について x ≤ i y {\displaystyle x\leq _{i}y} となるか I {\displaystyle I} 上で i < j {\displaystyle i<j} なる添字について x ∈ A i {\displaystyle x\in A_{i}} かつ y ∈ A j {\displaystyle y\in A_{j}} となること と置くことにより定義される。
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