上極限位相、下極限位相
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/11 02:16 UTC 版)
単に「実数体上の位相」といった場合、前述の順序位相を指すがその他の位相を考えることも（主に反例として用いるために）できる。 実数体 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上の上極限位相とは ( a , b ] = { x ∈ R : a < x ≤ b } {\displaystyle (a,b]=\{x\in \mathbb {R} ~:~a<x\leq b\}} 全体の集合を開基とする位相のことであり、同様に R {\displaystyle \mathbb {R} } 上の下極限位相（英語版）とは逆向きの半開区間 [ a , b ) = { x ∈ R : a ≤ x < b } {\displaystyle [a,b)=\{x\in \mathbb {R} ~:~a\leq x<b\}} 全体の集合を開基とする位相のことである。 実数体に下極限位相を入れた空間はしばし R ℓ {\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }} と書かれ、ゾルゲンフライ直線と呼ばれる。またゾルゲンフライ直線2つの直積 R ℓ × R ℓ {\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }\times \mathbb {R} _{\ell }} はゾルゲンフライ平面（英語版）と呼ばれる。
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