順序体における定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/12 18:56 UTC 版)
「アルキメデスの性質」の記事における「順序体における定義」の解説
順序体Kの場合には、Kが順序群としてアルキメデス的であるということをアルキメデスの公理と呼ばれる以下の命題によって特徴づけることができる。 Kの任意の元xについてある自然数nが存在してn > xとなる。 または、以下の命題によってアルキメデス性を特徴づけることもできる。 Kの、0でない任意の正の元 ε についてある自然数nが存在して 1/n < ε が成り立つ。 これらの単純化は、順序体の場合に成り立つ以下のような事情に基づいている。 Kは有理数体を含むとしてよい。 xが無限大ならば 1/x は無限小であり、逆も成り立つ。したがって無限小の元を持たない順序体は無限大の元も持たないことになる。 xが無限小ならば任意の正の有理数 r について rx は再び無限小となる。したがって、任意の正の元 c について、c/2, c, 2c の3つの元はどれも無限小であるか、あるいはどれも無限小でないかのどちらかである。 これらを基にした、アルキメデス性の異なる定式化については#順序体における同値な定義節を参照のこと。
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