実数のアルキメデス性とは? わかりやすく解説

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実数のアルキメデス性

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/11/12 18:56 UTC 版)

アルキメデスの性質」の記事における「実数のアルキメデス性」の解説

実数のなす体は順序体としてもノルム体としてもアルキメデス性持っている。これは有理数体系通常の順序ノルムについてアルキメデス性持ち実数がその完備化として得られることから従う。 実数アルキメデスの性質に関して順序体の中で、以下の意味普遍性持っている任意の完備アルキメデス順序体実数順序体同型になる。公理的アプローチ立てば無限小実数がないことは以下のようにしてしめすこともできる。Aを0より大きい無限小の数全体集合とする。これはとくに1を上界持っているが、空集合でなかったとすると、正の最小上界 c があることになる。このとき c より真に大き2c無限小ではあり得ないことになるが、いっぽうでcより真に小さい c / 2は無限小なければならない。#順序体における定義節の注意によればこれは矛盾である。 直観論理などに基づき構成的実数のみを認め体系では、無限小の数全体集合様に構成的与えられ集合最小上界存在保証されないが、それでも(有理数アルキメデス性により)実数のアルキメデス性は成り立っていることに注意

※この「実数のアルキメデス性」の解説は、「アルキメデスの性質」の解説の一部です。
「実数のアルキメデス性」を含む「アルキメデスの性質」の記事については、「アルキメデスの性質」の概要を参照ください。

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