二個の平方数の和
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/30 09:21 UTC 版)
二個の平方数の和（にこのへいほうすうのわ）は「平方数」、「多角数定理」などの補遺に当たる。ここに示す事実は古くから知られている[1]ものであるが呼びかたが定まっておらず、フェルマーの4n+1定理[2]、フェルマーの二平方定理、あるいは単にフェルマーの定理（フェルマーの最終定理とは異なる）などと呼ばれる。
- ^ Wolfram MathWorld: Sum of Squares Function
- ^ Weisstein
- ^ Zagier, Don (February 1990). "A One-Sentence Proof That Every Prime 𝑝≡1 (mod4) Is a Sum of Two Squares" (pdf). The American Mathematical Monthly (英語). 97 (2): 144. doi:10.2307/2323918. JSTOR 2323918. 2023年12月30日閲覧。 Preprint Archived 2012年2月5日, at the Wayback Machine.
- ^ Wolfram Mathworld: Euler's 6n+1 Theorem
- ^ たとえば Landau (1909), p. 641-- を参照
- 1 二個の平方数の和とは
- 2 二個の平方数の和の概要
- 3 ヤコビの二平方定理
- 4 二個の平方数の和で表される自然数の個数
フェルマーの二平方和の定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/16 01:27 UTC 版)
「平方剰余の相互法則」の記事における「フェルマーの二平方和の定理」の解説
詳細は「二個の平方数の和」を参照 4k + 1 型の素数は二個の平方数の和で表すことができる。また逆にある奇素数が二つの平方数の和で表すことができるならば、4k + 1 型の素数である。そして、二つの平方数の順序を別にすればこの分解は一意的である。 5 = 1 2 + 2 2 , 113 = 7 2 + 8 2 , 277 = 9 2 + 14 2 , 421 = 14 2 + 15 2 , 13 = 2 2 + 3 2 , 137 = 4 2 + 11 2 , 281 = 5 2 + 16 2 , 433 = 12 2 + 17 2 , 17 = 1 2 + 4 2 , 149 = 7 2 + 10 2 , 293 = 2 2 + 17 2 , 449 = 7 2 + 20 2 , 29 = 2 2 + 5 2 , 157 = 6 2 + 11 2 , 313 = 12 2 + 13 2 , 457 = 4 2 + 21 2 , 37 = 1 2 + 6 2 , 173 = 2 2 + 13 2 , 317 = 11 2 + 14 2 , 461 = 10 2 + 19 2 , 41 = 4 2 + 5 2 , 181 = 9 2 + 10 2 , 337 = 9 2 + 16 2 , 509 = 5 2 + 22 2 , 53 = 2 2 + 7 2 , 193 = 7 2 + 12 2 , 349 = 5 2 + 18 2 , 521 = 11 2 + 20 2 , 61 = 5 2 + 6 2 , 197 = 1 2 + 14 2 , 353 = 8 2 + 17 2 , 541 = 10 2 + 21 2 , 73 = 3 2 + 8 2 , 229 = 2 2 + 15 2 , 373 = 7 2 + 18 2 , 557 = 14 2 + 19 2 , 89 = 5 2 + 8 2 , 233 = 8 2 + 13 2 , 389 = 10 2 + 17 2 , 569 = 13 2 + 20 2 , 97 = 4 2 + 9 2 , 241 = 4 2 + 15 2 , 397 = 6 2 + 19 2 , 577 = 1 2 + 24 2 , 101 = 1 2 + 10 2 , 257 = 1 2 + 16 2 , 401 = 1 2 + 20 2 , 593 = 8 2 + 23 2 , 109 = 3 2 + 10 2 , 269 = 10 2 + 13 2 , 409 = 3 2 + 20 2 , 601 = 5 2 + 24 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}5&=1^{2}+2^{2},&113&=7^{2}+8^{2},&277&=9^{2}+14^{2},&421&=14^{2}+15^{2},\\13&=2^{2}+3^{2},&137&=4^{2}+11^{2},&281&=5^{2}+16^{2},&433&=12^{2}+17^{2},\\17&=1^{2}+4^{2},&149&=7^{2}+10^{2},&293&=2^{2}+17^{2},&449&=7^{2}+20^{2},\\29&=2^{2}+5^{2},&157&=6^{2}+11^{2},&313&=12^{2}+13^{2},&457&=4^{2}+21^{2},\\37&=1^{2}+6^{2},&173&=2^{2}+13^{2},&317&=11^{2}+14^{2},&461&=10^{2}+19^{2},\\41&=4^{2}+5^{2},&181&=9^{2}+10^{2},&337&=9^{2}+16^{2},&509&=5^{2}+22^{2},\\53&=2^{2}+7^{2},&193&=7^{2}+12^{2},&349&=5^{2}+18^{2},&521&=11^{2}+20^{2},\\61&=5^{2}+6^{2},&197&=1^{2}+14^{2},&353&=8^{2}+17^{2},&541&=10^{2}+21^{2},\\73&=3^{2}+8^{2},&229&=2^{2}+15^{2},&373&=7^{2}+18^{2},&557&=14^{2}+19^{2},\\89&=5^{2}+8^{2},&233&=8^{2}+13^{2},&389&=10^{2}+17^{2},&569&=13^{2}+20^{2},\\97&=4^{2}+9^{2},&241&=4^{2}+15^{2},&397&=6^{2}+19^{2},&577&=1^{2}+24^{2},\\101&=1^{2}+10^{2},&257&=1^{2}+16^{2},&401&=1^{2}+20^{2},&593&=8^{2}+23^{2},\\109&=3^{2}+10^{2},&269&=10^{2}+13^{2},&409&=3^{2}+20^{2},&601&=5^{2}+24^{2}.\end{aligned}}} 証明は、ある素数 p に対して A2 + B2 = rp と表せたならば r より真に小さい r′ ≥ 1 を選んで A′2 + B′2 = r′p とできるアルゴリズムの存在を示すことで行うことができる。 4k + 1 型の素数は第1補充法則より、A2 + 12 = rp と表すことができるため、このアルゴリズムを適用すればいつかは r を 1 にすることができる。
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