二個の平方数の和
フェルマーの二平方和の定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/16 01:27 UTC 版)
「平方剰余の相互法則」の記事における「フェルマーの二平方和の定理」の解説
詳細は「二個の平方数の和」を参照 4k + 1 型の素数は二個の平方数の和で表すことができる。また逆にある奇素数が二つの平方数の和で表すことができるならば、4k + 1 型の素数である。そして、二つの平方数の順序を別にすればこの分解は一意的である。 5 = 1 2 + 2 2 , 113 = 7 2 + 8 2 , 277 = 9 2 + 14 2 , 421 = 14 2 + 15 2 , 13 = 2 2 + 3 2 , 137 = 4 2 + 11 2 , 281 = 5 2 + 16 2 , 433 = 12 2 + 17 2 , 17 = 1 2 + 4 2 , 149 = 7 2 + 10 2 , 293 = 2 2 + 17 2 , 449 = 7 2 + 20 2 , 29 = 2 2 + 5 2 , 157 = 6 2 + 11 2 , 313 = 12 2 + 13 2 , 457 = 4 2 + 21 2 , 37 = 1 2 + 6 2 , 173 = 2 2 + 13 2 , 317 = 11 2 + 14 2 , 461 = 10 2 + 19 2 , 41 = 4 2 + 5 2 , 181 = 9 2 + 10 2 , 337 = 9 2 + 16 2 , 509 = 5 2 + 22 2 , 53 = 2 2 + 7 2 , 193 = 7 2 + 12 2 , 349 = 5 2 + 18 2 , 521 = 11 2 + 20 2 , 61 = 5 2 + 6 2 , 197 = 1 2 + 14 2 , 353 = 8 2 + 17 2 , 541 = 10 2 + 21 2 , 73 = 3 2 + 8 2 , 229 = 2 2 + 15 2 , 373 = 7 2 + 18 2 , 557 = 14 2 + 19 2 , 89 = 5 2 + 8 2 , 233 = 8 2 + 13 2 , 389 = 10 2 + 17 2 , 569 = 13 2 + 20 2 , 97 = 4 2 + 9 2 , 241 = 4 2 + 15 2 , 397 = 6 2 + 19 2 , 577 = 1 2 + 24 2 , 101 = 1 2 + 10 2 , 257 = 1 2 + 16 2 , 401 = 1 2 + 20 2 , 593 = 8 2 + 23 2 , 109 = 3 2 + 10 2 , 269 = 10 2 + 13 2 , 409 = 3 2 + 20 2 , 601 = 5 2 + 24 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}5&=1^{2}+2^{2},&113&=7^{2}+8^{2},&277&=9^{2}+14^{2},&421&=14^{2}+15^{2},\\13&=2^{2}+3^{2},&137&=4^{2}+11^{2},&281&=5^{2}+16^{2},&433&=12^{2}+17^{2},\\17&=1^{2}+4^{2},&149&=7^{2}+10^{2},&293&=2^{2}+17^{2},&449&=7^{2}+20^{2},\\29&=2^{2}+5^{2},&157&=6^{2}+11^{2},&313&=12^{2}+13^{2},&457&=4^{2}+21^{2},\\37&=1^{2}+6^{2},&173&=2^{2}+13^{2},&317&=11^{2}+14^{2},&461&=10^{2}+19^{2},\\41&=4^{2}+5^{2},&181&=9^{2}+10^{2},&337&=9^{2}+16^{2},&509&=5^{2}+22^{2},\\53&=2^{2}+7^{2},&193&=7^{2}+12^{2},&349&=5^{2}+18^{2},&521&=11^{2}+20^{2},\\61&=5^{2}+6^{2},&197&=1^{2}+14^{2},&353&=8^{2}+17^{2},&541&=10^{2}+21^{2},\\73&=3^{2}+8^{2},&229&=2^{2}+15^{2},&373&=7^{2}+18^{2},&557&=14^{2}+19^{2},\\89&=5^{2}+8^{2},&233&=8^{2}+13^{2},&389&=10^{2}+17^{2},&569&=13^{2}+20^{2},\\97&=4^{2}+9^{2},&241&=4^{2}+15^{2},&397&=6^{2}+19^{2},&577&=1^{2}+24^{2},\\101&=1^{2}+10^{2},&257&=1^{2}+16^{2},&401&=1^{2}+20^{2},&593&=8^{2}+23^{2},\\109&=3^{2}+10^{2},&269&=10^{2}+13^{2},&409&=3^{2}+20^{2},&601&=5^{2}+24^{2}.\end{aligned}}} 証明は、ある素数 p に対して A2 + B2 = rp と表せたならば r より真に小さい r′ ≥ 1 を選んで A′2 + B′2 = r′p とできるアルゴリズムの存在を示すことで行うことができる。 4k + 1 型の素数は第1補充法則より、A2 + 12 = rp と表すことができるため、このアルゴリズムを適用すればいつかは r を 1 にすることができる。
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