フォーク定理

OR事典

フォーク定理

読み方：ふぉーくていり
【英】：folk theorem

無限回繰り返しゲームでのナッシュ均衡利得の集合を特徴づける定理. 毎回のゲームの前にプレイヤーが過去のプレイの履歴に関して完全な情報を得る繰り返しゲームでは, プレイヤーの平均均衡利得の集合は, 成分ゲームのミニマックス利得以上の実現可能な協調利得の全体と一致することを示す. 1950 年代にはすでに研究者の間で知られていたが, 近年になるまで公表されなかったためにフォーク (民間伝承) 定理と呼ばれている.

「OR事典」の他の用語

ゲーム理論：

パワー指数  フォンノイマン・モルゲンシュテルン効用関数  フォンノイマン・モルゲンシュテルン解  フォーク定理  プレイヤー  ベイジアンゲーム  ベイジアンナッシュ均衡

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フォーク定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/09/09 05:29 UTC 版)

フォーク定理（フォークていり、英: folk theorem）とは、ゲーム理論において、繰り返しゲームでは任意の個人合理的な行動の組がナッシュ均衡点（あるいはサブゲーム完全均衡点）として成立する、という定理である。

有限回の囚人のジレンマでは非協力解が均衡解となる。しかし同じゲームでも無限回の繰り返しゲームになると協調解がナッシュ均衡として成立することが比較的早い段階で知られていたが、これは公式に発表されてこなかった。数学の諸分野では、「証明をつけようと思えばつけられると誰もが思っているが、実際には誰一人としてその証明をつけたことがない定理」のことを一般に folklore (民間伝承) と呼ぶので、この定理はフォーク (folk) 定理と呼ばれるようになった。

その後、アリエル・ルービンシュタインは繰り返しゲームにおいて、将来利得が現在利得と同程度に評価される（割引因子が十分に 1 に近い）場合には、パレート効率性のある配分を含む多くの協調的な利得ベクトルが繰り返しゲームの完全均衡点として実現できることを示した。

無限回ゲームの下では報復が可能であり、今回非協力な相手に対して、次回非協力で報復することが可能である。他のプレイヤーの行動が決まれば、プレイヤー i の利得の上限も決まる。他のプレイヤーがプレイヤー i の利得の上限を最も小さくするような行動のことをミニマックス行動と呼び、そのときのプレイヤー i の利得をミニマックス利得と呼ぶ。

例として、2 人のプレイヤーがしっぺ返し戦略をとる場合を考えよう。相手がしっぺ返し戦略を採用する場合に、こちらが裏切ると、その回だけは一時的に自己の利益になるが、次回には相手から報復を受け、せいぜいミニマックス利得以下の利益しかもたらさない。他方、相手が裏切った場合には、こちらが報復しないと自己の利益が損なわれるので、報復したほうがよい。そのため、将来の利得の割引率が小さい（割引因子が大きい）場合には、しっぺ返し戦略は均衡解となる。このとき、互いの合意がなくても暗黙の協調が生まれ、このときの利得はミニマックス利得を上回る。

表 話 編 歴 ゲーム理論
定義	非協力ゲーム 協力ゲーム 標準型ゲーム 展開型ゲーム ベイジアンゲーム 簡潔ゲーム（英語版） 情報集合 信念の階層 選好 進化ゲーム ハイパーゲーム（英語版） 行動ゲーム
解概念と精緻化	ナッシュ均衡 部分ゲーム完全均衡 Mertens-stable equilibrium（英語版） ベイジアン・ナッシュ均衡 完全ベイズ均衡 摂動完全均衡 プロパー均衡 ε均衡 相関均衡（英語版、ドイツ語版） 逐次均衡 準完全均衡 進化的安定戦略 リスク支配 コア シャープレイ値 パレート効率性 質的応答均衡 自己確証均衡 強ナッシュ均衡（英語版、ヘブライ語版） マルコフ完全均衡（英語版） 戦略的補完性 合理化可能性 直観的基準
戦略	支配戦略 混合戦略（英語版） しっぺ返し戦略 トリガー戦略 共謀（英語版） 後ろ向き帰納法 前向き帰納法 マルコフ戦略（英語版） 主人と奴隷
ゲームのクラス	対称ゲーム（英語版） 完全情報 完全情報ゲーム 完備情報 不完備情報ゲーム 確実情報 同時手番ゲーム 逐次手番ゲーム（英語版） 繰り返しゲーム シグナリングゲーム チープトーク ゼロ和 非ゼロ和 メカニズムデザイン 交渉問題（英語版） 確率ゲーム（英語版） 大ポアソンゲーム（英語版） 非推移的ゲーム グローバルゲーム（英語版） 特性関数型ゲーム 二人零和有限確定完全情報ゲーム
ゲーム	囚人のジレンマ 旅人のジレンマ（英語版） 協調ゲーム（英語版） チキンゲーム ムカデゲーム（英語版） ボランティアのジレンマ（英語版） ドル・オークション（英語版） 男女の争い（英語版） スタグハントゲーム マッチングペニー（英語版） 最後通牒ゲーム じゃんけん 海賊ゲーム（英語版） 独裁者ゲーム（英語版） 公共財ゲーム（英語版） Blotto games（英語版） 消耗戦（英語版） エルファロル・バー問題 公平分割 行き詰まり（英語版） 割り勘のジレンマ Guess 2/3 of the average（英語版） クーン・ポーカー 交渉問題（英語版） スクリーニングゲーム（英語版） 囚人と帽子のパズル（英語版） Trust game（英語版） Princess and monster game（英語版） モンティ・ホール問題 クールノー競争 ベルトラン競争 シュタッケルベルグ競争
定理	ミニマックス法 ナッシュの定理 純化定理 フォーク定理 顕示原理（英語版） アローの不可能性定理
主要人物	ケネス・アロー ロバート・オーマン ケン・ビンモア サミュエル・ボールズ メルヴィン・ドレッシャー（英語版） メリル・フラッド（英語版） ドリュー・フューデンバーグ（英語版） ドナルド・ギリース ジョン・ハーサニ レオニード・ハーヴィッツ デイヴィッド・レヴァイン（英語版） ダニエル・カーネマン ハロルド・クーン エリック・マスキン ジャン＝フランソワ・メルタン（英語版） ポール・ミルグロム オスカー・モルゲンシュテルン ロジャー・マイヤーソン ジョン・ナッシュ ジョン・フォン・ノイマン アリエル・ルービンシュタイン トーマス・シェリング ラインハルト・ゼルテン ハーバート・サイモン ロイド・シャープレー ジョン・メイナード＝スミス ジャン・ティロール アルバート・タッカー ウィリアム・ヴィックリー ロバート・ウィルソン ペイトン・ヤング（英語版）
関連項目	コモンズの悲劇 Tyranny of small decisions（英語版） All-pay auction（英語版） ゲーム理論におけるゲームの一覧（英語版） Confrontation analysis（英語版） ゲーム理論家の一覧（英語版） 数学 経済学 進化論 集団遺伝学 オペレーションズリサーチ 社会生物学 環境社会学 クープマンモデル
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