べき単群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 09:54 UTC 版)
Un で k 上 GLn に含まれる対角成分がすべて 1 である上三角行列からなる群とする。体 k 上の群スキーム（例えば線型代数群）は、ある n に対して Un のある閉部分群スキームと同型であるとき、べき単 unipotent であるという。Un がべき零であることは簡単に確かめられる。よって、任意のべき単群スキームはべき零である。 体 k 上の線型代数群 G がべき単である必要十分条件は G ( k ¯ ) {\displaystyle G({\bar {k}})} のすべての元がべき単であることである。 GLn に含まれる上三角行列からなる群 Bn は半直積 B n = T n ⋉ U n {\displaystyle \mathbf {B} _{n}=\mathbf {T} _{n}\ltimes \mathbf {U} _{n}} である。ここで Tn は diagonal torus (Gm)n である。より一般に、連結で可解な線型代数群はトーラスとべき単群の半直積 T ⋉ U である。 完全体（例えば、代数的閉体） k 上滑らかで連結なべき単群は、すべての商群が加法群 Ga と同型である組成列を持つ。
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