冪乗
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/09/12 00:55 UTC 版)
数学における冪乗（べきじょう、べき乗、英: 仏: 独: exponentiation）または冪演算（べきえんざん）は、底 (てい、英: base) および冪指数 (べきしすう、英: exponent) と呼ばれる二つの数に対して定まる数学的算法である。その結果は冪 (べき、英: power) と呼ばれる。表現の揺れにより同じ概念は日本語で「累乗」とも表現されており、初等教育ではこちらの表現のほうが多くなっている（本文参照）。
- 1 冪乗とは
- 2 冪乗の概要
べき乗
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/01 07:43 UTC 版)
「冪乗#行列および線型作用素の冪」も参照 n × n の正方行列 A に対して行列のべき乗は An (ここで n は実数) と書かれる。 行列 A が対角化可能であれば、An = (P−1DP)n = P−1DnP として容易に計算できる。
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べき乗
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 23:03 UTC 版)
「三角関数の公式の一覧」の記事における「べき乗」の解説
余弦関数の倍角公式を変形することにより、以下の式が得られる。式の次数を下げるためによく用いられる。 正弦関数余弦関数その他 sin 2 θ = 1 − cos 2 θ 2 {\displaystyle \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}\!} cos 2 θ = 1 + cos 2 θ 2 {\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}\!} sin 2 θ cos 2 θ = 1 − cos 4 θ 8 {\displaystyle \sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 4\theta }{8}}\!} sin 3 θ = 3 sin θ − sin 3 θ 4 {\displaystyle \sin ^{3}\theta ={\frac {3\sin \theta -\sin 3\theta }{4}}\!} cos 3 θ = 3 cos θ + cos 3 θ 4 {\displaystyle \cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos 3\theta }{4}}\!} sin 3 θ cos 3 θ = 3 sin 2 θ − sin 6 θ 32 {\displaystyle \sin ^{3}\theta \cos ^{3}\theta ={\frac {3\sin 2\theta -\sin 6\theta }{32}}\!} sin 4 θ = 3 − 4 cos 2 θ + cos 4 θ 8 {\displaystyle \sin ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}}\!} cos 4 θ = 3 + 4 cos 2 θ + cos 4 θ 8 {\displaystyle \cos ^{4}\theta ={\frac {3+4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}}\!} sin 4 θ cos 4 θ = 3 − 4 cos 4 θ + cos 8 θ 128 {\displaystyle \sin ^{4}\theta \cos ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos 4\theta +\cos 8\theta }{128}}\!} sin 5 θ = 10 sin θ − 5 sin 3 θ + sin 5 θ 16 {\displaystyle \sin ^{5}\theta ={\frac {10\sin \theta -5\sin 3\theta +\sin 5\theta }{16}}\!} cos 5 θ = 10 cos θ + 5 cos 3 θ + cos 5 θ 16 {\displaystyle \cos ^{5}\theta ={\frac {10\cos \theta +5\cos 3\theta +\cos 5\theta }{16}}\!} sin 5 θ cos 5 θ = 10 sin 2 θ − 5 sin 6 θ + sin 10 θ 512 {\displaystyle \sin ^{5}\theta \cos ^{5}\theta ={\frac {10\sin 2\theta -5\sin 6\theta +\sin 10\theta }{512}}\!} ド・モアブルの定理・オイラーの公式・二項定理を用いると、以下のように一般化できる。 余弦関数正弦関数n が奇数 cos n θ = 2 2 n ∑ k = 0 n − 1 2 ( n k ) cos ( ( n − 2 k ) θ ) {\displaystyle \cos ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}\cos {\left((n-2k)\theta \right)}} sin n θ = 2 2 n ∑ k = 0 n − 1 2 ( − 1 ) ( n − 1 2 − k ) ( n k ) sin ( ( n − 2 k ) θ ) {\displaystyle \sin ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{\left({\frac {n-1}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\sin {\left((n-2k)\theta \right)}} n が偶数 cos n θ = 1 2 n ( n n 2 ) + 2 2 n ∑ k = 0 n 2 − 1 ( n k ) cos ( ( n − 2 k ) θ ) {\displaystyle \cos ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{\binom {n}{k}}\cos {\left((n-2k)\theta \right)}} sin n θ = 1 2 n ( n n 2 ) + 2 2 n ∑ k = 0 n 2 − 1 ( − 1 ) ( n 2 − k ) ( n k ) cos ( ( n − 2 k ) θ ) {\displaystyle \sin ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\cos {\left((n-2k)\theta \right)}}
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「べき乗」の例文・使い方・用例・文例
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