スペクトルとの関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/11 16:47 UTC 版)
「シュテファン＝ボルツマンの法則」の記事における「スペクトルとの関係」の解説
この法則とヴィーンの変位則により、黒体輻射における電磁波のスペクトルの形に対する制限が見いだされる。 波長 λ で表した放射発散度のスペクトルは I λ ( λ , T ) = c 1 λ 5 f ( c 2 / λ T ) {\displaystyle I_{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {c_{1}}{\lambda ^{5}}}f(c_{2}/\lambda T)} となる。あるいは、振動数 ν で表したスペクトルは I ν ( ν , T ) = c 1 c 4 ν 3 f ( ( c 2 / c ) ν / T ) {\displaystyle I_{\nu }(\nu ,T)={\frac {c_{1}}{c^{4}}}\nu ^{3}f{\Big (}(c_{2}/c)\nu /T{\Big )}} となる。 実際、全ての波長について積分した放射発散度は I ( T ) = ∫ 0 ∞ I ν ( ν , T ) d ν = c 1 c 4 ∫ 0 ∞ ν 3 f ( ( c 2 / c ) ν / T ) d ν = c 1 T 4 c 2 4 ∫ 0 ∞ x 3 f ( x ) d x {\displaystyle I(T)=\int _{0}^{\infty }I_{\nu }(\nu ,T)\,d\nu ={\frac {c_{1}}{c^{4}}}\int _{0}^{\infty }\nu ^{3}f{\Big (}(c_{2}/c)\nu /T{\Big )}\,d\nu ={\frac {c_{1}T^{4}}{{c_{2}}^{4}}}\int _{0}^{\infty }x^{3}f(x)\,dx} となり、積分が収束すればシュテファン=ボルツマンの法則 I∝T4 が導かれ、シュテファン=ボルツマン定数が σ = c 1 c 2 4 ∫ 0 ∞ x 3 f ( x ) d x {\displaystyle \sigma ={\frac {c_{1}}{{c_{2}}^{4}}}\int _{0}^{\infty }x^{3}f(x)\,dx} と計算される。
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