線型と準線型の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/04 07:28 UTC 版)
次の形式のPDEを考える。 ∑ i = 1 n a i ( x 1 , … , x n , u ) ∂ u ∂ x i = c ( x 1 , … , x n , u ) . {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}(x_{1},\dots ,x_{n},u){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}=c(x_{1},\dots ,x_{n},u).} このPDEを線型とするためには、係数 ai は空間変数のみに依存し、u には独立とすればよい。準線型とするためには、ai はその函数の値にも依存するが、導函数には依存しないものとすればよい。これら二つのケースの区別は、ここでの議論では本質的ではない。 線型あるいは準線型のPDEに対し、特性曲線はパラメータ的に次で与えられる。 ( x 1 , … , x n , u ) = ( x 1 ( s ) , … , x n ( s ) , u ( s ) ) {\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n},u)=(x_{1}(s),\dots ,x_{n}(s),u(s))} 但し次の常微分方程式系が満たされるものとする。 d x i d s = a i ( x 1 , … , x n , u ) {\displaystyle {\frac {dx_{i}}{ds}}=a_{i}(x_{1},\dots ,x_{n},u)} (2) d u d s = c ( x 1 , … , x n , u ) . {\displaystyle {\frac {du}{ds}}=c(x_{1},\dots ,x_{n},u).} (3) 式 (2) と (3) が、元のPDEの特性曲線である。
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