スピン1/2の場合の具体的表記
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/10 05:04 UTC 版)
「スピン角運動量」の記事における「スピン1/2の場合の具体的表記」の解説
スピン量子数sが1/2である場合、スピノール空間は(H1)より V 1 / 2 = C 2 {\displaystyle V_{1/2}=\mathbf {C} ^{2}} であり、単位ベクトル n = (x, y, z) ∈ R3を回転軸に持つスピン角運動量演算子は、(H2)、(L6)、(F1)、(F2)より、 S ^ n = i ℏ ⋅ ( π s ) ∗ ( X n ) = i ℏ ⋅ i d ( − i 2 ( x σ 1 + y σ 2 + z σ 3 ) ) = ℏ 2 ( x σ 1 + y σ 2 + z σ 3 ) {\displaystyle {\hat {S}}_{\mathbf {n} }=i\hbar \cdot (\pi _{s})_{*}(X_{\mathbf {n} })=i\hbar \cdot \mathrm {id} (-{i \over 2}(x\sigma _{1}+y\sigma _{2}+z\sigma _{3}))={\hbar \over 2}(x\sigma _{1}+y\sigma _{2}+z\sigma _{3})} である。よって特に、 S ^ x = ℏ 2 σ x = ℏ 2 ( 0 1 1 0 ) {\displaystyle {\hat {S}}_{x}={\hbar \over 2}\sigma _{x}={\hbar \over 2}{\begin{pmatrix}0&&1\\1&&0\end{pmatrix}}} S ^ y = ℏ 2 σ y = ℏ 2 ( 0 − i i 0 ) {\displaystyle {\hat {S}}_{y}={\hbar \over 2}\sigma _{y}={\hbar \over 2}{\begin{pmatrix}0&&-i\\i&&0\end{pmatrix}}} S ^ z = ℏ 2 σ z = ℏ 2 ( 1 0 0 − 1 ) {\displaystyle {\hat {S}}_{z}={\hbar \over 2}\sigma _{z}={\hbar \over 2}{\begin{pmatrix}1&&0\\0&&-1\end{pmatrix}}} S ^ n {\displaystyle {\hat {S}}_{\mathbf {n} }} はnによらず常に固有値 ℏ 2 , − ℏ 2 {\displaystyle {\hbar \over 2},-{\hbar \over 2}} を持つ。 それぞれの規格化された固有ベクトルは、次のとおりとなる。 | s x , + ⟩ = 1 2 ( 1 1 ) , | s x , − ⟩ = 1 2 ( 1 − 1 ) | s y , + ⟩ = 1 2 ( 1 i ) , | s y , − ⟩ = 1 2 ( 1 − i ) | s z , + ⟩ = ( 1 0 ) , | s z , − ⟩ = ( 0 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&|s_{x,+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},&&|s_{x,-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\\&|s_{y,+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}},&&|s_{y,-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}\\&|s_{z,+}\rangle =&{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},&&|s_{z,-}\rangle =&{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
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