リー代数の準同型とは? わかりやすく解説

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リー代数

(リー代数の準同型 から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2023/11/29 09:37 UTC 版)

数学において、リー代数 (リーだいすう、Lie algebra)、もしくはリー環(リーかん)[注 1]は、「リー括弧積」(リーブラケット、Lie bracket)と呼ばれる非結合的な乗法 [x, y] を備えたベクトル空間である。無限小変換英語版 (infinitesimal transformation) の概念を研究するために導入された。"Lie algebra" という言葉は、ソフス・リーに因んで、1930年代にヘルマン・ワイルにより導入された。古い文献では、無限小群 (infinitesimal group) という言葉も使われている。

リー代数はリー群と密接な関係にある。リー群とはでも滑らかな多様体でもあるようなもので、積と逆元を取る群演算が滑らかであるようなものである。任意のリー群からリー代数が生じる。逆に、実数あるいは複素数上の任意の有限次元リー代数に対し、対応する連結リー群が被覆英語版による違いを除いて一意的に存在する(リーの第三定理英語版)。このリー群とリー代数の間の対応英語版によってリー群をリー代数によって研究することができる。

定義

リー代数は、ある

リー環 (Lie ring)

数学における(狭義の)リー環[注 3](リーかん、: Lie ring)はリー代数とよく似た構造で、リー代数を一般化した代数的構造と見ることもできるが、降中心列英語版の研究においても自然に生じてくる。

リー環と関連する概念としてリー群リー代数があるが、(が加法に関してになるのとは異なり)リー環は加法に関して必ずしもリー群を成さず、他方で任意のリー代数はリー環の例である。任意の結合環交換子括弧積

出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。2014年7月

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