実数冪
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/26 14:07 UTC 版)
指数函数と対数函数が既知ならば、それらを用いて冪函数を任意の実数を冪指数とするものへ一般化することができる。x は真に正の値をとるものとすれば、函数 fa は f a ( x ) = x a := e a ln ( x ) {\displaystyle f_{a}(x)=x^{a}:=e^{a\ln(x)}} で定義される。a の値によっては、既にみたように x = 0 や R*、R 全体などへ定義域を拡張することができる。あるいは a の値によって x = 0 でも微分できるかどうかが異なる。また冪函数の増減の仕方は a の符号で決まる。函数の凸性は二階導函数の符号に関係するが、したがって今の場合だと冪函数の凸性は a(a −1) の符号で決まる。
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