簡単な函数の二分の一階導関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/29 01:57 UTC 版)
「分数階微積分学」の記事における「簡単な函数の二分の一階導関数」の解説
ここで関数 f(x) として f ( x ) = x k {\displaystyle f(x)=x^{k}} という形の単項式を考える。この一階導函数は周知の如く f ′ ( x ) = d d x f ( x ) = k x k − 1 {\displaystyle f'(x)={\frac {d}{dx}}f(x)=kx^{k-1}} で与えられる。また、この二階導函数は f ″ ( x ) = d 2 d x 2 f ( x ) = k ( k − 1 ) x k − 2 {\displaystyle f''(x)={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)=k(k-1)x^{k-2}} で与えられる。微分を繰り返せば一般に f ( a ) ( x ) = d a d x a x k = k P a x k − a = k ! ( k − a ) ! x k − a {\displaystyle f^{(a)}(x)={\frac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={_{k}P_{a}}x^{k-a}={\frac {k!}{(k-a)!}}x^{k-a}} を得る。ここで、階乗をガンマ関数に置き換えることにより d a d x a x k = k ! ( k − a ) ! x k − a = Γ ( k + 1 ) Γ ( k − a + 1 ) x k − a {\displaystyle {\frac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\frac {k!}{(k-a)!}}x^{k-a}={\frac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (k-a+1)}}x^{k-a}} が成り立つものと考えることができる。そのため、たとえば x の半微分（二分の一階導函数）は d 1 / 2 d x 1 / 2 x = Γ ( 1 + 1 ) Γ ( 1 − 1 / 2 + 1 ) x 1 − 1 / 2 = Γ ( 2 ) Γ ( 3 / 2 ) x 1 / 2 = 2 π 1 / 2 x − 1 / 2 = 2 π − 1 / 2 x 1 / 2 = 2 x π {\displaystyle {\frac {d^{1/2}}{dx^{1/2}}}x={\frac {\Gamma (1+1)}{\Gamma (1-1/2+1)}}x^{1-1/2}={\frac {\Gamma (2)}{\Gamma (3/2)}}x^{1/2}={\frac {2}{\pi ^{1/2}}}x^{-1/2}=2\pi ^{-1/2}x^{1/2}=2{\sqrt {\frac {x}{\pi }}}} で与えられる。これをもう一回行うと、 d 1 / 2 d x 1 / 2 2 π 1 / 2 x 1 / 2 = 2 π 1 / 2 Γ ( 1 / 2 + 1 ) Γ ( 1 / 2 − 1 / 2 + 1 ) x 1 / 2 − 1 / 2 = 2 π 1 / 2 Γ ( 3 / 2 ) Γ ( 1 ) x 0 = 2 π 1 / 2 π 1 / 2 2 1 = 1 {\displaystyle {\frac {d^{1/2}}{dx^{1/2}}}{\frac {2}{\pi ^{1/2}}}x^{1/2}={\frac {2}{\pi ^{1/2}}}{\frac {\Gamma (1/2+1)}{\Gamma (1/2-1/2+1)}}x^{1/2-1/2}={\frac {2}{\pi ^{1/2}}}{\frac {\Gamma (3/2)}{\Gamma (1)}}x^{0}={\frac {2}{\pi ^{1/2}}}{\frac {\frac {\pi ^{1/2}}{2}}{1}}=1} が得られる。これはすなわち、そもそも成り立って欲しかった性質である ( d 1 / 2 d x 1 / 2 d 1 / 2 d x 1 / 2 ) x = d d x x = 1 {\displaystyle \left({\frac {d^{1/2}}{dx^{1/2}}}{\frac {d^{1/2}}{dx^{1/2}}}\right)x={d \over dx}x=1} がきちんと満たされていることを意味している。ここで、上述のような微分作用素の拡張は、なにも実数冪のみに縛られるものではない。例えば (1 − i)-階導函数の (1 + i)-階導函数は二階微分を与えるものである。もちろん a が負の整数以外の負の値をとるならば適当な積分が与えられる(Γ(x+yi)の定義域はx>0)。
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