実数直線との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2013/04/17 07:11 UTC 版)
「ベール空間 (集合論)」の記事における「実数直線との関係」の解説
ベール空間は、無理数全体の成す集合に実数直線からの相対位相を入れたものと同相である。ベール空間と無理数全体との間の同相写像は連分数を用いて構成できる。 記述集合論の観点からは、実数直線が連結であるという事実は技術的な困難を引き起こす。それが故にベール空間を研究することのほうが普通である。任意のポーランド空間はベール空間の連続像であるから、任意のポーランド空間についての主張を示すのに、その性質がベール空間において成り立ちかつ連続写像で保たれることを示すという方法をとることも多い。 またそういった事実とは無関係に、ベール空間 B を一様空間と見て、わずかながら実解析的に意味のある内容が得られる。ベール空間 B と無理数全体 Ir の持つ一様構造は、（これらが互いに同相であるにもかかわらず）図らずも一致しない。実際、B はその自然な距離に関して完備だが、対する Ir はそうではない。
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