実数値関数のフーリエ級数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/07 07:47 UTC 版)
「フーリエ級数」の記事における「実数値関数のフーリエ級数」の解説
f は、実数 x を変数とする実数値関数で、周期 2π の周期関数であるとする。 a n = 1 π ∫ − π π f ( t ) cos n t d t , ( n = 0 , 1 , 2 , 3 , ⋯ ) b n = 1 π ∫ − π π f ( t ) sin n t d t , ( n = 1 , 2 , 3 , ⋯ ) {\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&={1 \over \pi }\int _{-\pi }^{\pi }f\left(t\right)\cos nt\,dt,\left(n=0,1,2,3,\cdots \right)\\b_{n}&={1 \over \pi }\int _{-\pi }^{\pi }f\left(t\right)\sin nt\,dt,\left(n=1,2,3,\cdots \right)\end{aligned}}} と置き、an を f のフーリエ余弦係数 (Fourier cosine coefficient)、bn を f のフーリエ正弦係数(Fourier sine coefficient) という。これらを用いて書かれた三角級数 a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n x + b n sin n x ) {\displaystyle {a_{0} \over 2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right)} をフーリエ級数(Fourier series) あるいはフーリエ級数展開（Fourier series expansion）という。余弦項だけの a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos n x {\displaystyle {a_{0} \over 2}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx} を、フーリエ余弦級数といい、正弦項だけの ∑ n = 1 ∞ b n sin n x {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin nx} を、フーリエ正弦級数という。 フーリエ係数を定める積分区間 −π < x < π に制限して f をみたときに f がフーリエ級数で表される偶関数なら、そのフーリエ級数は余弦級数となり、f(x) がフーリエ級数で表される奇関数なら、そのフーリエ級数は正弦級数となる。
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