実数体の二次拡大環として
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/19 15:03 UTC 版)
「実二次正方行列」の記事における「実数体の二次拡大環として」の解説
詳細は「二元数」を参照 各 2×2 実行列は三種類の一般化された複素数（つまり、通常の複素数、二重数、分解型複素数）のひとつとして解釈できる。上述のように、二次の実正方行列環は、これら一般化された複素数平面の（同じ実軸を共有する）合併として記述され、各平面 Pm は各々可換部分環として表されるのであった。以下に示すように、任意に与えられた二次正方行列が、どの一般化複素平面に属するのかを決定して、平面を表す一般化複素数の種類を分類することができる。 以下、与えられた二次正方行列 z = [ a b c d ] {\displaystyle z={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}} に対して z を含む平面 Pm を決定する。 先に述べたように、行列 z の平方が対角行列となるのは a + d = 0 のときであるから、行列 z は単位行列 I の実数倍と超平面 a + d = 0 に属する行列との和に表されなければならない。z を R4 のこれら部分空間へ射影したものを考えれば z = x I + n , ( x = a + d 2 , n = z − x I ) {\displaystyle z=xI+n,\quad (x={\frac {a+d}{2}},\quad n=z-xI)} と書けて、 n 2 = p I ( p = ( a − d ) 2 4 + b c ) {\displaystyle n^{2}=pI\quad (p={\frac {(a-d)^{2}}{4}}+bc)} を得る。これにより z に関する三分律を得る。 p < 0 のとき、z は通常の複素数:q := 1/√−p, m := qn と置けば、m2 = −I で z = xI + m√−p. p = 0 のとき、z は二重数: z = xI + n. p > 0 のとき、z は分解型複素数:q := 1/√p, m := qn と置けば、m2 = +I で z = xI + m√p. 同様に、2×2 行列を（先述の極分解によって）極座標で表すことができる（無論、二重数の場合に連結成分が二つ存在すること、および分解型四元数の場合に連結成分が四つ存在することに注意せねばならない）。
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