実数乗冪
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/14 00:51 UTC 版)
詳細は「指数関数」を参照 x が正の実数ならば、上で制限されていた指数への条件は外れる。正数ならば任意の自然数 m に対する正の m 乗根 x m {\displaystyle {\sqrt[{m}]{x}}} がただ一つ存在するので、正の有理数 n m {\displaystyle {\frac {n}{m}}} に対し x n m = ( x m ) n = x n m {\displaystyle x^{\frac {n}{m}}={\bigl (}{\sqrt[{m}]{x}}{\bigr )}^{n}={\sqrt[{m}]{x^{n}}}} と定めることができる。さらに、x が 0 でなければ逆元が存在するので、指数は有理数全体まで拡張される。 x (>0) の冪は、その指数に関して極限を取ることによって実数上の関数に拡張され、連続関数になる。連続な拡張は一意であり、これを x を底とする指数関数と呼ぶ。
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