実数・複素数への拡張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/15 02:21 UTC 版)
「コラッツの問題」の記事における「実数・複素数への拡張」の解説
コラッツ写像は、次の式で定義される滑らかな関数を整数に制限したものと見なせる： f ( x ) = 1 2 x cos 2 ( π 2 x ) + 3 x + 1 2 sin 2 ( π 2 x ) {\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}x\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}x\right)+{\frac {3x+1}{2}}\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}x\right)} 実直線上でのこの写像の反復については、マーク・チェンバーランド (Marc Chamberland) の研究によると、この関数は実直線上に無限に多くの不動点を持ち、また反復合成について単調に無限大に発散する軌道も持つ。 f(x) の正の不動点を小さい方から 0 < μ1 < μ2 < μ3 < … とおく。このとき、[μ1, μ3] の範囲には周期アトラクターがちょうど2つ存在して、1つは {1, 2}、もう1つは {1.192531907..., 2.138656335...} である。 Letherman, Schleicher および Wood はこの関数の研究を複素平面へと拡張した。ほとんどの複素平面上の点は無限遠へと発散するが、境界となるジュリア集合はフラクタル図形を描く。
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