負の整数冪
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/26 14:07 UTC 版)
各負の整数 −n に対して、非零実数の集合 R* := R ∖ {0} = {x ∈ R | x ≠ 0} 上の函数 f − n ( x ) := x − n = 1 x n = 1 f n ( x ) {\displaystyle f_{-n}(x):=x^{-n}={\frac {1}{x^{n}}}={\frac {1}{f_{n}(x)}}} が定義される。前節の fn と同様に、函数 f–n は n が偶数のとき偶、奇数のとき奇である。 小さい n に対して具体的に書けば: −n = −1 のとき、逆数函数 f−1(x) = 1⁄x. これは、対応する函数のグラフが双曲線となる唯一の冪函数である。 これらの函数もすべて f−n(1) = 1 を満たす。また特に m < n とするとき x − n > x − m ( 0 < x < 1 ) , {\displaystyle x^{-n}>x^{-m}\quad (0<x<1),} x − n < x − m ( 1 < x ) {\displaystyle x^{-n}<x^{-m}\quad (1<x)} が成り立つ。 これら負の整数冪の冪函数はすべて、正の実軸上で狭義単調に x → +0 の極限となる +∞ から x → +∞ の極限となる 0 まで減少する。これらのグラフはすべて x = 0 と y = 0 の二つの直線を漸近線に持つ。負の実軸上では、偶数冪ならば単調増大、奇数冪ならば単調減少の区別が生じる。
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