指数閉体

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指数閉体

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/09/02 04:28 UTC 版)

数学における指数閉体（しすうへいたい、英: exponentially closed field; 指数的に閉じた体）F とは、F は順序指数体 —すなわち、F は順序体で、なおかつ「指数函数」と呼ばれる F の加法群から F の正元の成す乗法群の上への準同型 E を持つ体（指数体）であって、E が順序写像となるもの— であって、その「指数函数」E が群同型かつ適当な自然数 n に対して 1 + 1/n < E(1) < n を満足するものを言う。

例

• 標準的な指数閉体の例は、実数全体の成す順序体である。ここで「指数函数」E としては、任意の a > 1 を底に持つ指数函数をとれる。

性質

• 任意の指数閉体 F は冪根（拡大）で閉じている (root-closed)。つまり、F の任意の正元は任意の自然数 n に対する n-乗根を F 内に持つ、別な言い方をすれば F の正元全体の成す乗法群は可除である。これは ${\textstyle E({\frac {1}{n}}E^{-1}(a))^{n}=E(E^{-1}(a))=a\quad (\forall a>0)}$ が成り立つことによる。
  • その帰結として、任意の指数閉体はユークリッド体となる。
  • その帰結として、任意の指数体は順序ピタゴラス体となる。
• 必ずしもすべての実閉体が指数閉体となるわけではない。例えば、実代数的数体は指数閉でない。実際、実数体の任意の指数閉部分体 F において「指数函数」E は適当な (1 <)a ∈ F に対して E(x) = a^x の形にとれ、しかし a が代数的数ならばゲルフォント–シュナイダーの定理により E(√2) = a^√2 は代数的でない。
  • その帰結として、指数閉体の成す類は初等的（一階の理論で公理化可能）でないことが従う（これは、実数体と実代数的数体が、互いに初等同値な構造であることによる）。
• 指数閉体の類は擬初等類である。これは体 F が指数閉となるための必要十分条件として「上への函数 E₂: F → F ×
  +  で E₂(1) = 2 となるものが存在すること」を挙げることができて、この E₂ は一階公理化可能であることによる。

参考文献

• Alling, Norman L. (1962). “On Exponentially Closed Fields”. Proceedings of the American Mathematical Society 13 (5): 706–711. doi:10.2307/2034159. Zbl 0136.32201. http://www.jstor.org/pss/2034159.