クロネッカーの定理の系
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/05/25 08:44 UTC 版)
「有限アーベル群」の記事における「クロネッカーの定理の系」の解説
任意の素数 p に対し、G のシロー p-部分群（G の元からなる素数 p の冪を位数に持つ極大な部分群）を Gp と書く。 G は適当な p に関するシロー部分群 Gp の直積である。 (このねじれ冪零群の一般性質は、とくに有限アーベル群の場合には、ベズーの定理から容易に導かれる）.) クロネッカーの定理を Gp に適用すれば、ただちに G のより細かい分解が得られる。フロベニウスとスティッケルバーガー（英語版）は G の非自明な準素（あるいは素冪）（フランス語版）位数巡回部分群の直積への分解が同型を除いてただ一つ存在する ことを示した。以下のことがわかる: G, H, K が有限アーベル群で、二つの直積群 G × H と G × K が互いに同型ならば、H と K も同型である G の位数の任意の約数 d に対し、G は少なくとも一つ位数 d の部分群を含む 任意の整数 n > 0 に対し、位数 n のアーベル群の（同型を除いた）個数は p(k1)⋯p(kr) に等しい。ただし、p k11 ⋯p krr は n の素因数分解であり、p(k) は整数 k に対する分割数である。
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