クロネッカーの方法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/16 01:05 UTC 版)
「多項式の因数分解」の記事における「クロネッカーの方法」の解説
整数係数多項式の各整数で評価した値は有限通りの分解しかないので、十分多くの整数での値から因子の候補となる多項式を（補間公式などにより）構成すれば、因子はこれらの有限個の多項式から見つけられる。 例えば f ( x ) := x 5 + x 4 + x 2 + x + 2 {\displaystyle f(x):=x^{5}+x^{4}+x^{2}+x+2} を考えるとき、これが ℤ 上で分解するならば、その因子の少なくとも一つは二次以下である。二次多項式を一意に決めるには三点での値が必要であるが、ここでは f(0) = 2, f(1) = 6, f(−1) = 2 を利用することにする。もしここで利用する値のどれかでも 0 に等しくなっていたならば、それはすでに根が見つかった（したがって一次因子が得られた）ことになることに注意せよ。0 に等しいものが無いとすれば、それらの因数は有限個である。いまの場合 2 の因数分解は 1×2, 2×1, (−1)×(−2), (−2)×(−1) の四通りだけであるから、もし二次の整係数因子があったならば、その x = 0 における値は 1, 2, −1, −2 の何れかでなければならない。x = −1 における値も同じくである。また同様に、6 の因数分解は 8 通りだから、これらの分解のとり方の組み合わせは 4 × 4 × 8 = 128 通りだが、半分は符号が逆になっただけなので、二次因子となる候補としてチェックすべきものは半分の 64 通りということになる。それ以外のものが f(x) の整係数二次因子を与えることはない。これらを精査すれば p ( x ) := x 2 + x + 1 {\displaystyle p(x):=x^{2}+x+1} が p(0) = 1, p(1) = 3, p(−1) = 1 を満たすものとして得られて、実際に f(x) を割り切る。 f を p で割れば、別の因子として q ( x ) := x 3 − x + 2 {\textstyle q(x):=x^{3}-x+2} を得るから、因数分解 f = pq を得る。さてさらに再帰的に有理根テストを施して p, q をそれぞれ分解しようと試みれば、これらが ℤ 上既約であることがわかるから、これで f の既約因子分解 f ( x ) = p ( x ) q ( x ) = ( x 2 + x + 1 ) ( x 3 − x + 2 ) {\displaystyle f(x)=p(x)q(x)=(x^{2}+x+1)(x^{3}-x+2)} を得た。
※この「クロネッカーの方法」の解説は、「多項式の因数分解」の解説の一部です。
「クロネッカーの方法」を含む「多項式の因数分解」の記事については、「多項式の因数分解」の概要を参照ください。
- クロネッカーの方法のページへのリンク
