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有限アーベル群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/05 16:08 UTC 版)

数学の殊に代数学において有限アーベル群（ゆうげんアーベルぐん、英: finite abelian group）は、可換かつ有限なる群。ゆえにこれは有限型のアーベル群の特別の場合である。にも拘らず、有限アーベル群の概念には独自の長い歴史と特有の様々な応用（合同算術のような純粋数学的なものも、誤り訂正符号のような工学的なものも含めて）を有する。

注釈・出典

注釈

^ この一意性はクルル–シュミットの定理からも導くことができる。あるいは、後述する直積の単純化の系としても直截に示せる
^ Une démonstration figure dans ce cours sur Wikiversité. Vipul Naik en donne une directe, en supposant seulement que les trois groupes sont finis (non nécessairement abéliens). Une vaste généralisation est due à (en) Bjarni Jónsson (en) および Alfred Tarski, Direct Decompositions of Finite Algebraic Systems,‎ 1947 (lire en ligne), th. 3.11 p. 50. Dans le cas des groupes, elle s'exprime par :
Pour tout groupe fini G et tous groupes H et K, G × H ≃ G × K ⇒ H ≃ K.

R. Hirshon (1969). “On cancellation in groups” (英語). Amer. Math. Monthly (9): 1037-1039. JSTOR 317133. donne une preuve rapide de cette implication et montre de plus que la finitude de G est, elle, indispensable, en fournissant un contre-exemple pour G = ℤ, avec même H et K de type fini, mais nécessairement non abéliens puisqu'un autre théorème :

Pour tout groupe abélien de type fini G et tous groupes abéliens H et K, G × H ≃ G × K ⇒ H ≃ K.

avait été démontré par “The complement of a finitely generated direct summand of an abelian group” (英語). Proc. Amer. Math. Soc. (3): 520-521. (1956). et Elbert A. Walker (1956). “Cancellation in direct sums of groups” (英語). Proc. Amer. Math. Soc. (5): 898-902. .
^ Une démonstration figure dans ce problème corrigé sur Wikiversité.

出典

^ Niels Henrik Abel, Mémoire sur les équations algébriques, où l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré,‎ 1824
^ Galois, Évariste (1846). “Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux” (フランス語). Journal de mathématiques pures et appliquées (J. Math. Pures Appl.). , texte manuscrit de 1830
^ Kronecker, Leopold (1870). “Auseinandersetzung einiger Eigenschaften der Klassenzahl idealer complexer Zahlen” (ドイツ語). Académie royale des sciences de Prusse (Monatsber. K. Preuss. Akad. Wissenschaft Berlin): 881–889.
^ (de) Heinrich Weber, Lehrbuch der Algebra, Braunschweig,‎ 1896
^ Kronecker, Leopold (1854). “Mémoire sur les facteurs irréductibles de l'expression xⁿ – 1” (フランス語). J. Math. Pures Appl.. 1 19: 177-192.
^ Weber, Heinrich (1886 et 1887). “Theorie der Abel'schen Zahlkörper” (ドイツ語). Acta Mathematica (Acta Math.) VIII et IX.
^ Hilbert, David (1896) (ドイツ語). Ein neuer Beweis des Kronecker'schen Fundamentalsatzes über Abel'sche Zahlkörper. Nachr. der K. Ges. der Wiss. zu Gottingen.
^ Frobenius; Stickelberger (1879). “Ueber Gruppen von vertauschbaren Elementen” (ドイツ語). J. reine angew. Math.: 217-262. https://eudml.org/doc/148395. .
^ Suite A000688 de l'OEIS.
^ Jean-Jacques Risler および Pascal Boyer, Algèbre pour la Licence 3 : Groupes, anneaux, corps, Dunod,‎ 2006 (lire en ligne), p. 45.