有限アーベル群の構造定理

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有限アーベル群の構造定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/12/27 23:47 UTC 版)

レオポルト・クロネッカー (1823–1891)

有限アーベル群の構造定理（ゆうげんアーベルぐんのこうぞうていり、英: structure theorem of finite abelian group）は、数学の特に群論における定理であり、有限アーベル群の基本定理（ゆうげんアーベルぐんのきほんうていり）とも呼ばれる。 任意の有限アーベル群が巡回群の直積に同型であることを主張するもので、Kronecker (1870) によって示された。この定理は有限生成アーベル群の構造定理（フランス語版）の特別の場合として、さらに単因子定理、すなわち主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理に一般化される。

定理の主張

定理 (Kronecker)

有限アーベル群 G に対し、1 より大きい整数からなる列 (a₁, a₂, …, a_k) が一意に存在して、G はこの数列の各項に等しい位数を持つ巡回群の直積群に同型:

$${\displaystyle G\simeq \mathbb {Z} /a_{1}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /a_{2}\mathbb {Z} \times \cdots \times \mathbb {Z} /a_{k}\mathbb {Z} }$$

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