有限環とは? わかりやすく解説

有限環

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/01/11 14:00 UTC 版)

環 (数学)」の記事における「有限環」の解説

詳細は「有限環(英語版)」を参照 自然数 m が与えられたとき、m 元からなる集合には、いったいいくつの異なる(必ずしも単位的でない)環構造が入るのかと考えるのは自然である。まず、位数 m が素数のときはたった二種類の環構造しかない加法群位数 m の巡回群同型)。すなわち、一つは積がすべて潰れる零環であり、もう一つ有限体である。 有限群してみれば分類難しさは m の素因数分解難しさ依存する有限アーベル群の構造定理)。例えば、m が素数平方ならば、位数 m の環はちょう11種類存在する一方位数 m の「群」は二種類しかないいずれも可換群)。 有限環論が有限アーベル群理論よりも複雑なのは、任意の有限アーベル群に対してそれを加法群とする少なくとも二種類互いに同型でない有限環が存在することによる(Z/mZ のいくつかの直和零環)。一方有限アーベル群を必要としない方法では有限環のほうが簡単なこともある。例えば、有限単純群の分類20世紀数学大きなブレイクスルー一つであり、その証明雑誌の何千ページにも及ぶ長大なものであったが、他方任意の有限単純環は必ず適当な位数 q の有限体上の n-次正方行列Mn(Fq) に同型である。このことはジョセフ・ウェダーバーンが1905年1907年確立した二つ定理から従う。 定理一つは、ウェダーバーンの小定理として知られる任意の有限可除環は必ず可換であるというものである。ネイサン・ヤコブソンが後に可換性保証する別な条件として 「R の任意の元 r に対し整数 n (> 1) が存在して rn = r満たすならば R は可換である」 を発見している。特に、r2 = r を任意の r が満たすならば、その環はブール環呼ばれる。環の可換性保証するもっと一般条件いくつか知られている。 自然数 m に対す位数 m の環の総数オンライン整数列大辞典の A027623 にリストされている。

※この「有限環」の解説は、「環 (数学)」の解説の一部です。
「有限環」を含む「環 (数学)」の記事については、「環 (数学)」の概要を参照ください。

ウィキペディア小見出し辞書の「有限環」の項目はプログラムで機械的に意味や本文を生成しているため、不適切な項目が含まれていることもあります。ご了承くださいませ。 お問い合わせ



英和和英テキスト翻訳>> Weblio翻訳
英語⇒日本語日本語⇒英語
  

辞書ショートカット

すべての辞書の索引

「有限環」の関連用語

有限環のお隣キーワード
検索ランキング

   

英語⇒日本語
日本語⇒英語
   



有限環のページの著作権
Weblio 辞書 情報提供元は 参加元一覧 にて確認できます。

   
ウィキペディアウィキペディア
Text is available under GNU Free Documentation License (GFDL).
Weblio辞書に掲載されている「ウィキペディア小見出し辞書」の記事は、Wikipediaの環 (数学) (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。

©2025 GRAS Group, Inc.RSS