非アーベル圏

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非アーベル圏

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/05 16:09 UTC 版)

「群の圏」の記事における「非アーベル圏」の解説

アーベル群の圏 Ab は群の圏 Grp の充満部分圏であるが、Ab がアーベル圏を成すのに対し Grp は非アーベルである。実際に、Grp は二つの群準同型の「和」を定義する自然な方法が存在しないから、加法圏ですらない。 実例として、三次対称群 S3 上の自己準同型全体の成す集合 E ≔ Hom(S3, S3) を考えよう。E は位数 10 である（そのうちの一つの元は、任意の元を単位元に写す零準同型 z であり、E の任意の元に z を左または右から掛けるとその積は z に等しい。三つは、位数 2 の部分群（これが全部で三つある）への射影であり、これらは各々同じ側から何度掛けても自分自身となるような元になる。残りの六つは自己同型となる）。仮に Grp が加法圏であったならば、この集合 E は位数 10 の環（自己準同型環）を成さなければならない。任意の環において零元 0 はその任意の元 x に対して 0⋅x = x⋅0 = 0 を満たす元（吸収元）として規定されるものであるから、E の零元は零準同型 z がそれであるはずである。しかし、E のどの二つの非零元も掛けて z になることはないから、つまり E は零因子を持たない有限環でなければならないことになる。ウェダーバーンの小定理により、零因子を持たない有限環は有限体であるが、有限体の位数は必ず素数の冪でなければならないから、位数 10 の E は有限体ではありえない。これは不合理。