非アルキメデス的順序体

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非アルキメデス的順序体

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/12 18:56 UTC 版)

「アルキメデスの性質」の記事における「非アルキメデス的順序体」の解説

詳細は「非アルキメデス順序体」を参照 実数係数の一変数有理関数体には以下のようにして非アルキメデス的な順序体の構造を与えることができる。以下有理関数は分母の多項式の最高次の係数が正の形に表されていると仮定する。多項式に対するユークリッドの互除法を用いれば、任意の有理関数は、多項式（「整式部分」）と、分子の多項式の次数が分母の次数よりも低いような有理関数との和の形に一意的に表される。このとき、 1) 整式部分の最高次の係数が正である、2) 整式部分が0で、分子の最高次の係数が正である、のいずれかの条件を満たすものを正の有理関数と定めると、有理関数体は四則演算と整合的な順序を持つ。実際、この順序に関する正の元 f(t) とは、ある整数 n が存在してt → ∞のときに f(t) tnが正の実数に収束するようなものである。 この順序に関して有理関数 1/t は無限小の元になる。実際、任意の自然数 n について 1 - n.(1/t) は整式部分の最高次係数が 1 > 0 であり、 1 - n.(1/t) は 0より大きい（ あるいは、(1 - n.(1/t))t0 は t → ∞ のとき1 > 0に収束する）。