非アルキメデス付値による完備体
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/11 09:25 UTC 版)
「付値体」の記事における「非アルキメデス付値による完備体」の解説
非アルキメデス付値に対する完備体の性質として、以下のものが挙げられる。 (1) 非アルキメデス付値に対する完備体 ( K , | ⋅ | ) {\displaystyle \scriptstyle (K,\ |\cdot |)} 内のコーシー列 { a n } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}} の収束点を α としたとき、α が 0 でないならば、十分大きな全ての n に対して | α | = | a n | {\displaystyle |\alpha |=|a_{n}|} が成立する。 (2) 非アルキメデス付値体 ( K , | ⋅ | ) {\displaystyle \scriptstyle (K,\ |\cdot |)} の完備化を ( K ′ , | ⋅ | ′ ) {\displaystyle \scriptstyle (K',\ |\cdot |')} とする。このとき、K が代数閉体であるならば、 K ′ {\displaystyle K'} も代数閉体である。 このことから、例えば、p進体 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} の代数閉包を Q p ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}} とし、p進付値をこの代数閉包に延長したもので完備化した体を C p {\displaystyle \mathbb {C} _{p}} とおくと、 C p {\displaystyle \mathbb {C} _{p}} は代数閉体となる。
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