非アルキメデス付値と指数付値
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/04 18:40 UTC 版)
「付値」の記事における「非アルキメデス付値と指数付値」の解説
q > 1 を１つ取り固定する。|•| を体 K の非アルキメデス付値としたとき v: K → R ∪ {∞} を v ( x ) = { − log q | x | ( x ≠ 0 ) ∞ ( x = 0 ) {\displaystyle v(x)={\begin{cases}-\log _{q}|x|&(x\neq 0)\\\infty &(x=0)\end{cases}}} で定めると、v は K の指数付値となる。 逆に、K の指数付値 v に対して |•|v: K → R を | x | v = { q − v ( x ) ( x ≠ 0 ) 0 ( x = 0 ) {\displaystyle |x|_{v}={\begin{cases}q^{-v(x)}&(x\neq 0)\\0&(x=0)\end{cases}}} で定めると、|•|v は K の非アルキメデス付値となる。 従って q を固定するとき、非アルキメデス付値と指数付値の間には一対一の対応を付けることができる。しかし、アルキメデス付値に対しては、上の様に v を定義しても加法付値にはならない。 さらに、上で定義された非アルキメデス付値 |•| に対する加法付値 v に対して、v の付値環、付値イデアルを Rv, m v {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{v}} とし、 R | ∙ | = { α ∈ K ∣ | α | ≤ 1 } , m | ∙ | = { α ∈ K ∣ | α | < 1 } {\displaystyle R_{|\bullet |}=\{\alpha \in K\mid |\alpha |\leq 1\},\quad {\mathfrak {m}}_{|\bullet |}=\{\alpha \in K\mid |\alpha |<1\}} とおくと、Rv = R|•|, m v = m | ∙ | {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{v}={\mathfrak {m}}_{|\bullet |}} が成り立ち、R|•|, m | ∙ | {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{|\bullet |}} はそれぞれ K の部分環、R|•| のイデアルになる。このとき、R|•|, m | ∙ | , R | ∙ | / m | ∙ | {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{|\bullet |},\,R_{|\bullet |}/{\mathfrak {m}}_{|\bullet |}} を非アルキメデス付値 |•| に対する付値環、付値イデアル、剰余体という。 この様に得られた付値環、付値イデアルに対しても、先に挙げた加法付値に対する付値環、付値イデアルと同じ性質が成り立つ。 また、v が離散付値であるとき、|•| を離散付値という。このとき、うまく q を選べば v は正規離散付値となるので、v(π) = 1 となる K の元 π が存在する。この π のことを |•| に関する素元という。 なお、アルキメデス付値に対しては、非アルキメデス付値と同様にして R|•|, m | ∙ | {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{|\bullet |}} を定義することができるが、R|•| は K の部分環にはならず、 m | ∙ | {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{|\bullet |}} もイデアルにはならない。 しかし、{x ∈ K | |x| = 1} はアルキメデス付値、非アルキメデス付値に関わらず乗法群となる。これを乗法付値 |•| に対する単数群という。
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