付値とは - わかりやすく解説 Weblio辞書

付値

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/19 03:10 UTC 版)

付値（ふち、英: valuation、賦値、附値とも）とは、単位元 1 を持つ環 R と順序加群（英語版） G に対して、以下の3条件を満たす写像 v: R → G ∪ {∞} である。

^ 一般に 1 を含む任意の環 R の加法付値に対して、R_v, ${\mathfrak {m}}_{v}$ が定義され、それぞれ R の部分環、R_v のイデアルとなるが、R が体以外の場合、一般には付値環の持つ多くの性質を有しないので、付値環を体上の加法付値の下で定義する。
^ 一般に、順序群 G に対して、この様な性質を満たす部分群を孤立部分群という
^ この n は加法付値の階数に等しい。
^ 文献によっては、値群が Z の部分群となるとき離散付値という場合がある。
^ 離散付値ではない加法付値に対する付値環は、ネーター環にはならない。
^ 乗法付値のことを単に付値という場合がある。また、加法付値のことを付値、乗法付値のことを絶対値と言う場合もある。
^ このことは乗法付値の条件3 と同値である。
^ アルキメデス付値 |•| および r ≥ 0 に対して、R_r = {α ∈ K | |α| ≤ r} とおくと、R_r が環になるのは、R_r = {0} の場合に限る。
^ 単に「付値」といった場合、加法付値か乗法付値かは問わないものとする。
^ しかしながら、C(t) にはアルキメデス付値が存在する。
^ 添字の 1, ... , n は単に区別のためのものであり、p-進付値を指しているわけではない。後述の独立性定理、積公式も同じ。